- Indhold
- Betinget fordeling
- Diskret betinget fordeling
- Eksempel på diskret betinget fordeling
- Kontinuerlig betinget fordeling
- Eksempel på kontinuerlig betinget fordeling
- Betinget fordeling af bivariat normalfordeling
- Fælles sandsynlighedsfordeling af funktion af tilfældige variabler
- Eksempler på fælles sandsynlighedsfordeling af funktion af tilfældige variabler
Betinget fordeling
Det er meget interessant at diskutere det betingede tilfælde af fordeling, når to tilfældige variabler følger den fordeling, der tilfredsstiller den givne anden, vi ser først kort den betingede fordeling i begge tilfælde af tilfældige variabler, diskrete og kontinuerlige, så efter at have studeret nogle forudsætninger fokuserer vi på betingede forventninger.
Diskret betinget fordeling
Ved hjælp af fælles sandsynlighedsmassefunktion i fælles fordeling definerer vi betinget fordeling for de diskrete tilfældige variabler X og Y ved hjælp af betinget sandsynlighed for X givet Y som fordelingen med sandsynlighedsmassefunktionen
forudsat at nævners sandsynlighed er større end nul, kan vi i lignende skrive dette som
i den fælles sandsynlighed, hvis X og Y er uafhængige tilfældige variabler, vil dette blive til
så den diskrete betingede fordeling eller den betingede fordeling for de diskrete tilfældige variabler X givet Y er den tilfældige variabel med ovenstående sandsynlighedsmassefunktion på samme måde for Y givet X, som vi kan definere.
Eksempel på diskret betinget fordeling
- Find sandsynlighedsmassefunktion af stokastisk variabel X givet Y=1, hvis den fælles sandsynlighedsmassefunktion for de stokastiske variable X og Y har nogle værdier som
p(0,0)=0.4, p(0,1)=0.2, p(1,0)=0.1, p(1,1)=0.3
Nu først og fremmest for den værdi Y = 1, vi har
så ved hjælp af definitionen af sandsynlighedsmassefunktion
vi
,
- opnå den betingede fordeling af X givet X + Y = n, hvor X og Y er Poisson-fordelinger med parametrene λ1 og λ2 og X og Y er uafhængige tilfældige variabler
Da de tilfældige variabler X og Y er uafhængige, vil den betingede fordeling have sandsynlighedsmassefunktion som
da summen af tilfældig Poisson-variabel igen er poisson
således vil den betingede fordeling med ovennævnte sandsynlighedsmassefunktion være betinget fordeling for sådanne Poisson-fordelinger. Ovenstående tilfælde kan generaliseres til mere end to tilfældige variabler.
Kontinuerlig betinget fordeling
Den kontinuerlige betingede fordeling af den tilfældige variabel X givet y, der allerede er defineret, er den kontinuerlige fordeling med sandsynlighedsdensitetsfunktionen
nævnertæthed er større end nul, hvilket for den kontinuerlige densitetsfunktion er
således er sandsynligheden for en sådan funktion med betinget tæthed
På lignende måde som i diskret, hvis X og Y er uafhængige i kontinuerlig, så også
og dermed
så vi kan skrive det som
Eksempel på kontinuerlig betinget fordeling
- Beregn betinget tæthedsfunktion af tilfældig variabel X givet Y, hvis fælles sandsynlighedsdensitetsfunktion med det åbne interval (0,1) er givet ved
Hvis for den tilfældige variabel X givet Y inden for (0,1), har vi ved hjælp af ovenstående densitetsfunktion
- Beregn den betingede sandsynlighed
hvis den fælles sandsynlighedstæthedsfunktion er givet af
For at finde den betingede sandsynlighed kræver vi først den betingede tæthedsfunktion, så det ville ifølge definitionen være
bruger nu denne densitetsfunktion med sandsynligheden for betinget sandsynlighed is
Betinget fordeling af bivariat normalfordeling
Vi ved, at den bivariate normalfordeling af de normale tilfældige variabler X og Y med de respektive middel og afvigelser, da parametrene har den fælles sandsynlighedstæthedsfunktion
så for at finde den betingede fordeling for en sådan bivariat normalfordeling for X givet Y defineres ved at følge den betingede tæthedsfunktion af den kontinuerlige tilfældige variabel og ovenstående leddensitetsfunktion, vi har
Ved at observere dette kan vi sige, at dette normalt fordeles med middelværdien
og varians
på samme måde vil den betingede tæthedsfunktion for Y givet X, der allerede er defineret, bare udveksle positionerne for parametrene for X med Y,
Den marginale densitetsfunktion for X kan vi opnå fra ovenstående funktion med betinget densitet ved hjælp af konstantens værdi
lad os erstatte det integrale
densitetsfunktionen vil være nu
siden den samlede værdi af
ved definitionen af sandsynligheden, så densitetsfunktionen vil være nu
som ikke er andet end densitetsfunktionen af tilfældig variabel X med sædvanlig gennemsnit og varians som parametre.
Fælles sandsynlighedsfordeling af funktion af tilfældige variabler
Indtil videre kender vi den fælles sandsynlighedsfordeling af to tilfældige variabler, nu hvis vi har funktioner af sådanne tilfældige variabler, hvad ville så være den fælles sandsynlighedsfordeling af disse funktioner, hvordan man beregner densiteten og fordelingsfunktionen, fordi vi har situationer i det virkelige liv, hvor vi har funktioner af tilfældige variabler,
Hvis Y1 og y2 er funktionerne i de tilfældige variabler X1 og X2 henholdsvis som er sammenhængende, så er den sammenhængende sammenhængstæthedsfunktion af disse to funktioner
hvor Jacobi-
og y1 =g1 (X1, X2) og Y2 =g2 (X1, X2) for nogle funktioner g1 og g2 . Her g1 og g2 opfylder betingelserne for Jacobian som kontinuerlig og har kontinuerlige delvise derivater.
Nu er sandsynligheden for sådanne funktioner af tilfældige variabler
Eksempler på fælles sandsynlighedsfordeling af funktion af tilfældige variabler
- Find leddensitetsfunktionen for de tilfældige variabler Y1 =X1 +X2 og y2=X1 -X2 hvor X1 og X2 er den sammen kontinuerlige med fælles sandsynlighedstæthedsfunktion. diskuter også for den forskellige karakter af distribution.
Her skal vi først kontrollere Jacobian
siden g1(x1, x2) = x1 +x2 og g2(x1, x2) = x1 - x2 so
forenkling af Y1 =X1 +X2 og y2=X1 -X2 , til værdien af X1 = 1/2 (Y1 +Y2 ) og X2 = Y1 -Y2 ,
hvis disse tilfældige variabler er uafhængige ensartede tilfældige variabler
eller hvis disse tilfældige variabler er uafhængige eksponentielle tilfældige variabler med sædvanlige parametre
eller hvis disse tilfældige variabler er uafhængige normale tilfældige variabler
- Hvis X og Y er de uafhængige standard normale variabler som angivet
beregne fællesfordelingen for de respektive polære koordinater.
Vi konverterer ved sædvanlig konvertering X og Y til r og θ som
så de delvise derivater af denne funktion vil være
så den jakobier, der bruger disse funktioner er
hvis begge tilfældige variabler X og Y er større end nul, er den betingede leddensitetsfunktion
nu konvertering af kartesisk koordinat til polarkoordinat ved hjælp af
altså sandsynlighedstætheden funktion for de positive værdier vil være
for de forskellige kombinationer af X og Y er tæthedsfunktionerne på lignende måder
nu fra gennemsnittet af ovenstående tætheder kan vi angive densitetsfunktionen som
og den marginale densitetsfunktion fra denne leddensitet af polære koordinater over intervallet (0, 2π)
- Find leddensitetsfunktionen til funktionen af tilfældige variabler
U = X + Y og V = X / (X + Y)
hvor X og Y er gammafordeling med henholdsvis parametre (α + λ) og (β +λ).
Ved at bruge definitionen af gammafordeling og ledfordelingsfunktion vil tæthedsfunktionen for den stokastiske variabel X og Y være
betragt de givne funktioner som
g1 (x, y) = x + y, g2 (x, y) = x / (x + y),
så differentieringen af disse funktioner er
nu er Jacobian
efter simplificering af de givne ligninger variablerne x=uv og y=u(1-v) er sandsynlighedsdensitetsfunktionen
vi kan bruge forholdet
- Beregn fælles sandsynlighedsdensitetsfunktionen for
Y1 =X1 +X2+ X3 , OG2 =X1- X2 , OG3 =X1 - X3
hvor de stokastiske variable X1, X2, X3 er standarden normale tilfældige variable.
Lad os nu beregne Jacobian ved hjælp af delvise derivater af
Y1 =X1 +X2+ X3 , OG2 =X1- X2 , OG3 =X1 - X3
as
forenkling for variabler X1 , X2 og X3
X1 = (Y1 + Y2 + Y3) / 3, X2 = (Y1 - 2 år2 + Y3) / 3, X3 = (Y1 + Y2 -2 år3) / 3
vi kan generalisere leddensitetsfunktionen som
så vi har det
for den normale variabel er fælles sandsynlighedsdensitetsfunktionen
dermed
hvor indekset er
beregne leddensitetsfunktionen af Y1 …… Yn og marginal densitetsfunktion for Yn hvor
og Xi er uafhængige identisk fordelte eksponentielle tilfældige variabler med parameter λ.
for tilfældige variabler i formularen
Y1 =X1 , OG2 =X1 + X2 , ……, Yn =X1 + ……+ Xn
Jacobian vil være af formen
og dermed er dens værdi en, og leddensitetsfunktionen for den eksponentielle tilfældige variabel
og værdierne for variablen Xi det bliver
så leddensitetsfunktionen er
Nu for at finde den marginale densitetsfunktion af Yn vi integrerer en efter en som
,
som klog
hvis vi fortsætter denne proces, får vi det
som er den marginale densitetsfunktion.
konklusion:
betinget fordeling for den diskrete og kontinuerte stokastiske variabel med forskellige eksempler i betragtning af nogle af de omtalte typer af disse stokastiske variable, hvor den uafhængige stokastiske variabel spiller en vigtig rolle. Derudover fugen fordeling for funktionen af fælles kontinuerte stokastiske variable også forklaret med passende eksempler, hvis du har brug for yderligere læsning, gå gennem nedenstående links.
For mere indlæg om matematik henvises til vores Matematikside
Wikipediahttps://en.wikipedia.org/wiki/joint_probability_distribution/” target=”_blank” rel=”noreferrer noopener” class=”rank-math-link”>Wikipedia.org
Et første kursus i sandsynlighed af Sheldon Ross
Schaums konturer af sandsynlighed og statistik
En introduktion til sandsynlighed og statistik fra ROHATGI og SALEH
Jeg er DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Jeg har afsluttet min ph.d. i matematik og arbejder som adjunkt i matematik. Har 12 års erfaring med undervisning. At have stor viden i ren matematik, netop om algebra. Har den enorme evne til problemdesign og -løsning. I stand til at motivere kandidater til at forbedre deres præstationer.
Jeg elsker at bidrage til Lambdageeks for at gøre matematik enkel, interessant og selvforklarende for begyndere såvel som eksperter.