Betinget distribution: 7 interessante fakta at vide

Betinget fordeling

   Det er meget interessant at diskutere det betingede tilfælde af fordeling, når to tilfældige variabler følger den fordeling, der tilfredsstiller den givne anden, vi ser først kort den betingede fordeling i begge tilfælde af tilfældige variabler, diskrete og kontinuerlige, så efter at have studeret nogle forudsætninger fokuserer vi på betingede forventninger.

Diskret betinget fordeling

     Ved hjælp af fælles sandsynlighedsmassefunktion i fælles fordeling definerer vi betinget fordeling for de diskrete tilfældige variabler X og Y ved hjælp af betinget sandsynlighed for X givet Y som fordelingen med sandsynlighedsmassefunktionen

1
2.PNG
3.PNG

forudsat at nævners sandsynlighed er større end nul, kan vi i lignende skrive dette som

4.PNG
5.PNG

i den fælles sandsynlighed, hvis X og Y er uafhængige tilfældige variabler, vil dette blive til

6.PNG
7.PNG
8.PNG

så den diskrete betingede fordeling eller den betingede fordeling for de diskrete tilfældige variabler X givet Y er den tilfældige variabel med ovenstående sandsynlighedsmassefunktion på samme måde for Y givet X, som vi kan definere.

Eksempel på diskret betinget fordeling

  1. Find sandsynlighedsmassefunktion af stokastisk variabel X givet Y=1, hvis den fælles sandsynlighedsmassefunktion for de stokastiske variable X og Y har nogle værdier som

p(0,0)=0.4, p(0,1)=0.2, p(1,0)=0.1, p(1,1)=0.3

Nu først og fremmest for den værdi Y = 1, vi har

9.PNG

så ved hjælp af definitionen af ​​sandsynlighedsmassefunktion

10.PNG
11.PNG
12.PNG

vi

13.PNG

,

14.PNG
  • opnå den betingede fordeling af X givet X + Y = n, hvor X og Y er Poisson-fordelinger med parametrene λ1 og λ2 og X og Y er uafhængige tilfældige variabler

Da de tilfældige variabler X og Y er uafhængige, vil den betingede fordeling have sandsynlighedsmassefunktion som

15.PNG
16.PNG
17.PNG

da summen af ​​tilfældig Poisson-variabel igen er poisson

18.PNG
19.PNG
20.PNG

således vil den betingede fordeling med ovennævnte sandsynlighedsmassefunktion være betinget fordeling for sådanne Poisson-fordelinger. Ovenstående tilfælde kan generaliseres til mere end to tilfældige variabler.

Kontinuerlig betinget fordeling

   Den kontinuerlige betingede fordeling af den tilfældige variabel X givet y, der allerede er defineret, er den kontinuerlige fordeling med sandsynlighedsdensitetsfunktionen

21.PNG

nævnertæthed er større end nul, hvilket for den kontinuerlige densitetsfunktion er

22.PNG
23.PNG

således er sandsynligheden for en sådan funktion med betinget tæthed

24.PNG

På lignende måde som i diskret, hvis X og Y er uafhængige i kontinuerlig, så også

25.PNG

og dermed

px 26
px 28 Kopi 1

så vi kan skrive det som

px 29 Kopi 1

Eksempel på kontinuerlig betinget fordeling

  1. Beregn betinget tæthedsfunktion af tilfældig variabel X givet Y, hvis fælles sandsynlighedsdensitetsfunktion med det åbne interval (0,1) er givet ved
px 30 Kopi 1

Hvis for den tilfældige variabel X givet Y inden for (0,1), har vi ved hjælp af ovenstående densitetsfunktion

px 31
px 32
px 33
px 34
px 35
  • Beregn den betingede sandsynlighed
px 36

hvis den fælles sandsynlighedstæthedsfunktion er givet af

px 37

For at finde den betingede sandsynlighed kræver vi først den betingede tæthedsfunktion, så det ville ifølge definitionen være

px 38
px 39
px 40

bruger nu denne densitetsfunktion med sandsynligheden for betinget sandsynlighed is

100
101
px 41

Betinget fordeling af bivariat normalfordeling

  Vi ved, at den bivariate normalfordeling af de normale tilfældige variabler X og Y med de respektive middel og afvigelser, da parametrene har den fælles sandsynlighedstæthedsfunktion

Betinget fordeling
Betinget fordeling af bivariat normal fordeling

så for at finde den betingede fordeling for en sådan bivariat normalfordeling for X givet Y defineres ved at følge den betingede tæthedsfunktion af den kontinuerlige tilfældige variabel og ovenstående leddensitetsfunktion, vi har

Betinget fordeling
Betinget fordeling af bivariat normalfordeling

Ved at observere dette kan vi sige, at dette normalt fordeles med middelværdien

px 42

og varians

px 43

på samme måde vil den betingede tæthedsfunktion for Y givet X, der allerede er defineret, bare udveksle positionerne for parametrene for X med Y,

Den marginale densitetsfunktion for X kan vi opnå fra ovenstående funktion med betinget densitet ved hjælp af konstantens værdi

Betinget fordeling
Betinget fordeling af bivariat normalfordeling

lad os erstatte det integrale

px 44

densitetsfunktionen vil være nu

Image3 1

siden den samlede værdi af

Image4

ved definitionen af ​​sandsynligheden, så densitetsfunktionen vil være nu

Image5

som ikke er andet end densitetsfunktionen af ​​tilfældig variabel X med sædvanlig gennemsnit og varians som parametre.

Fælles sandsynlighedsfordeling af funktion af tilfældige variabler

  Indtil videre kender vi den fælles sandsynlighedsfordeling af to tilfældige variabler, nu hvis vi har funktioner af sådanne tilfældige variabler, hvad ville så være den fælles sandsynlighedsfordeling af disse funktioner, hvordan man beregner densiteten og fordelingsfunktionen, fordi vi har situationer i det virkelige liv, hvor vi har funktioner af tilfældige variabler,

Hvis Y1 og y2 er funktionerne i de tilfældige variabler X1 og X2 henholdsvis som er sammenhængende, så er den sammenhængende sammenhængstæthedsfunktion af disse to funktioner

px 45

hvor Jacobi-

px 46

og y1 =g1 (X1, X2) og Y2 =g2 (X1, X2) for nogle funktioner g1 og g2 . Her g1 og g2 opfylder betingelserne for Jacobian som kontinuerlig og har kontinuerlige delvise derivater.

Nu er sandsynligheden for sådanne funktioner af tilfældige variabler

Image7

Eksempler på fælles sandsynlighedsfordeling af funktion af tilfældige variabler

  1. Find leddensitetsfunktionen for de tilfældige variabler Y1 =X1 +X2 og y2=X1 -X2 hvor X1 og X2 er den sammen kontinuerlige med fælles sandsynlighedstæthedsfunktion. diskuter også for den forskellige karakter af distribution.

Her skal vi først kontrollere Jacobian

px 47

siden g1(x1, x2) = x1 +x2  og g2(x1, x2) = x1 - x2 so

px 48

forenkling af Y1 =X1 +X2 og y2=X1 -X2 , til værdien af ​​X1 = 1/2 (Y1 +Y2 ) og X2 = Y1 -Y2 ,

px 49

hvis disse tilfældige variabler er uafhængige ensartede tilfældige variabler

px 50

eller hvis disse tilfældige variabler er uafhængige eksponentielle tilfældige variabler med sædvanlige parametre

Image10

eller hvis disse tilfældige variabler er uafhængige normale tilfældige variabler

px 51
px 52
px 53
  • Hvis X og Y er de uafhængige standard normale variabler som angivet
Betinget fordeling

beregne fællesfordelingen for de respektive polære koordinater.

Vi konverterer ved sædvanlig konvertering X og Y til r og θ som

px 54

så de delvise derivater af denne funktion vil være

px 55
px 56
px 57
px 58

så den jakobier, der bruger disse funktioner er

px 59

hvis begge tilfældige variabler X og Y er større end nul, er den betingede leddensitetsfunktion

px 60

nu konvertering af kartesisk koordinat til polarkoordinat ved hjælp af

px 61

altså sandsynlighedstætheden funktion for de positive værdier vil være

px 62

for de forskellige kombinationer af X og Y er tæthedsfunktionerne på lignende måder

px 63
px 64
px 65

nu fra gennemsnittet af ovenstående tætheder kan vi angive densitetsfunktionen som

px 66

og den marginale densitetsfunktion fra denne leddensitet af polære koordinater over intervallet (0, 2π)

px 67
  • Find leddensitetsfunktionen til funktionen af ​​tilfældige variabler

U = X + Y og V = X / (X + Y)

hvor X og Y er gammafordeling med henholdsvis parametre (α + λ) og (β +λ).

Ved at bruge definitionen af gammafordeling og ledfordelingsfunktion vil tæthedsfunktionen for den stokastiske variabel X og Y være

px 68
px 69

betragt de givne funktioner som

g1 (x, y) = x + y, g2 (x, y) = x / (x + y),

så differentieringen af ​​disse funktioner er

px 70
px 71
px 72

nu er Jacobian

px 73

efter simplificering af de givne ligninger variablerne x=uv og y=u(1-v) er sandsynlighedsdensitetsfunktionen

px 74
px 75

vi kan bruge forholdet

px 76
px 77
  • Beregn fælles sandsynlighedsdensitetsfunktionen for

Y1 =X1 +X2+ X3 , OG2 =X1- X2 , OG3 =X1 - X3

hvor de stokastiske variable X1, X2, X3 er standarden normale tilfældige variable.

Lad os nu beregne Jacobian ved hjælp af delvise derivater af

Y1 =X1 +X2+ X3 , OG2 =X1- X2 , OG3 =X1 - X3

as

px 78

forenkling for variabler X1 , X2 og X3

X1 = (Y1 + Y2 + Y3) / 3, X2 = (Y1 - 2 år2 + Y3) / 3, X3 = (Y1 + Y2 -2 år3) / 3

vi kan generalisere leddensitetsfunktionen som

px 79

så vi har det

px 80

for den normale variabel er fælles sandsynlighedsdensitetsfunktionen

px 81

dermed

px 82

hvor indekset er

px 83
px 84

beregne leddensitetsfunktionen af ​​Y1 …… Yn og marginal densitetsfunktion for Yn hvor

px 85

og Xi er uafhængige identisk fordelte eksponentielle tilfældige variabler med parameter λ.

for tilfældige variabler i formularen

Y1 =X1 , OG2 =X1 + X2 , ……, Yn =X1 + ……+ Xn

Jacobian vil være af formen

Image11

og dermed er dens værdi en, og leddensitetsfunktionen for den eksponentielle tilfældige variabel

px 86

og værdierne for variablen Xi det bliver

px 87

så leddensitetsfunktionen er

px 88
px 89
px 90
px 91

Nu for at finde den marginale densitetsfunktion af Yn vi integrerer en efter en som

px 92
px 93

,

px 94 1
px 94 2

som klog

px 96

hvis vi fortsætter denne proces, får vi det

px 97

som er den marginale densitetsfunktion.

konklusion:

betinget fordeling for den diskrete og kontinuerte stokastiske variabel med forskellige eksempler i betragtning af nogle af de omtalte typer af disse stokastiske variable, hvor den uafhængige stokastiske variabel spiller en vigtig rolle. Derudover fugen fordeling for funktionen af ​​fælles kontinuerte stokastiske variable også forklaret med passende eksempler, hvis du har brug for yderligere læsning, gå gennem nedenstående links.

For mere indlæg om matematik henvises til vores Matematikside

Wikipediahttps://en.wikipedia.org/wiki/joint_probability_distribution/” target=”_blank” rel=”noreferrer noopener” class=”rank-math-link”>Wikipedia.org

Et første kursus i sandsynlighed af Sheldon Ross

Schaums konturer af sandsynlighed og statistik

En introduktion til sandsynlighed og statistik fra ROHATGI og SALEH