For den tilfældige variabel, der er afhængig af hinanden, kræver beregning af betingede sandsynligheder, som vi allerede har diskuteret, nu vil vi diskutere nogle flere parametre for sådanne tilfældige variabler eller eksperimenter som betinget forventning og betinget variation for forskellige typer tilfældige variabler.
Betinget forventning
Definitionen af betinget sandsynlighedsmassefunktion af diskret tilfældig variabel X givet Y er
her pY(y)>0 , så den betingede forventning til den diskrete stokastiske variabel X givet Y, når pY (y)>0 er
i ovenstående forventning sandsynlighed er den betingede sandsynlighed.
På lignende måde, hvis X og Y er kontinuerlige, er den betingede sandsynlighedsdensitetsfunktion for den tilfældige variabel X givet Y
hvor f (x, y) er fælles sandsynlighedsdensitetsfunktion og for alle yfY(y)> 0, så den betingede forventning for den tilfældige variabel X givet y vil være
for alle yfY(y)> 0.
Som vi ved, at alle egenskaber af sandsynlighed er gældende for betingede sandsynlighed det samme er tilfældet for den betingede forventning, alle egenskaberne ved matematisk forventning er opfyldt af betinget forventning, for eksempel vil betinget forventning om funktion af stokastisk variabel være
og summen af tilfældige variabler i betinget forventning vil være
Betinget forventning for summen af tilfældige binomiale variabler
At finde betinget forventning om summen af binomiale stokastiske variable X og Y med parametre n og p som er uafhængige, ved vi at X+Y også vil være binomial stokastisk variabel med parametrene 2n og p, så for stokastisk variabel X givet X+Y=m vil den betingede forventning blive fremkommet ved at beregne sandsynligheden
da vi ved det
således er den betingede forventning af X givet X + Y = m
Eksempel:
Find den betingede forventning
hvis leddet sandsynlighedstæthedsfunktion af kontinuerte stokastiske variable X og Y er givet som
løsning:
For at beregne den betingede forventning kræver vi betinget sandsynlighedsdensitetsfunktion, så
da for den kontinuerte stokastiske variabel betinget forventning er
dermed for den givne densitetsfunktion ville den betingede forventning være
Forventning ved konditionering || Forventning efter betinget forventning
Vi kan beregne matematisk forventning ved hjælp af betinget forventning om X givet Y som
for de diskrete tilfældige variabler vil dette være
som kan opnås som
og for den kontinuerlige tilfældige kan vi tilsvarende vise
Eksempel:
En person er fanget i sin bygning under jorden, da indgangen er blokeret på grund af tung belastning, heldigvis er der tre rørledninger, hvorfra han kan komme ud, det første rør tager ham sikkert ud efter 3 timer, den anden efter 5 timer og den tredje rørledning efter 7 timer, hvis en af disse rørledninger er valgt lige sandsynligt af ham, hvad ville det være det forventede tidspunkt, han kommer sikkert ud udenfor.
Opløsning:
Lad X være den tilfældige variabel, der angiver tiden i timer, indtil personen kom sikkert ud, og Y betegner det rør, han valgte oprindeligt, så
siden
Hvis personen vælger det andet rør, bruger han 5 hus i det, men han kommer udenfor med forventet tid
så forventningen vil være
Forventning af summen af tilfældigt antal tilfældige variabler ved anvendelse af betinget forventning
Lad N være det tilfældige antal tilfældige variabler, og summen af tilfældige variabler er så forventningen
siden
as
således
Korrelation af bivariatfordeling
Hvis sandsynlighedsdensitetsfunktionen for den bivariate tilfældige variabel X og Y er
hvor
så er korrelationen mellem tilfældig variabel X og Y for den bivariate fordeling med densitetsfunktion
da korrelation er defineret som
da forventningen ved anvendelse af betinget forventning er
for den normale fordeling har den betingede fordeling X givet Y middelværdi
nu er forventningen om XY givet Y
dette giver
dermed
Variation af geometrisk fordeling
Lad os i den geometriske fordeling udføre successivt uafhængige forsøg, der resulterer i succes med sandsynlighed p, hvis N repræsenterer tidspunktet for første succes i denne rækkefølge, så vil variansen af N som pr. Definition være
Lad den tilfældige variabel Y = 1, hvis det første forsøg resulterer i succes og Y = 0, hvis det første forsøg resulterer i fiasko. For at finde den matematiske forventning her anvender vi den betingede forventning som
siden
hvis succes er i første forsøg, så er N = 1 og N2= 1 hvis der opstår fiasko i første forsøg, så for at få den første succes vil det samlede antal forsøg have den samme fordeling som 1, dvs. det første forsøg, der resulterer i fiasko med plus det nødvendige antal yderligere forsøg, det vil sige
Således forventes det
da forventningen om geometrisk fordeling er so
dermed
,
E
så variansen af geometrisk fordeling vil være
Forventning til minimum af sekvensen af ensartede tilfældige variabler
Sekvensen af ensartede tilfældige variabler U1, ELLER2 … .. over intervallet (0, 1) og N er defineret som
derefter for forventningen til N, for enhver x ∈ [0, 1] værdien af N
vi sætter forventningen om N som
for at finde forventningen bruger vi definitionen af betinget forventning på kontinuerlig tilfældig variabel
nu konditionering for den første periode af sekvensen vi
her kommer vi
det resterende antal ensartede tilfældige variabler er det samme på det punkt, hvor den første ensartede værdi er y, ved start og derefter skulle tilføje ensartede tilfældige variabler, indtil deres sum oversteg x - y.
så ved hjælp af denne forventningsværdi vil værdien af integral være
hvis vi differentierer denne ligning
,
nu integrerer dette giver
dermed
værdien af k = 1 hvis x = 0, så
m
og m (1) = e, det forventede antal ensartede tilfældige variabler over intervallet (0, 1), der skal tilføjes, indtil deres sum overstiger 1, er lig med e
Sandsynlighed ved anvendelse af betinget forventning || sandsynligheder ved hjælp af konditionering
Vi kan finde sandsynligheden også ved at bruge betinget forventning som forventning, vi fandt med betinget forventning, for at få dette til at overveje en begivenhed og en tilfældig variabel X som
fra definitionen af denne tilfældige variabel og forventning klart
nu ved betinget forventning i enhver forstand, vi har
Eksempel:
beregne sandsynlighed massefunktion af stokastisk variabel X , hvis U er den ensartede stokastiske variabel i intervallet (0,1), og betragte den betingede fordeling af X givet U=p som binomial med parametre n og p.
Opløsning:
For værdien af U er sandsynligheden ved konditionering
vi har resultatet
så vi får
Eksempel:
hvad er sandsynligheden for X <Y, hvis X og Y er de kontinuerlige tilfældige variabler med sandsynlighedsdensitetsfunktioner fX og fY henholdsvis.
Opløsning:
Ved at bruge betinget forventning og betinget sandsynlighed
as
Eksempel:
Beregn fordelingen af summen af kontinuerlige uafhængige tilfældige variabler X og Y.
Opløsning:
For at finde fordelingen af X + Y skal vi finde sandsynligheden for summen ved at bruge konditioneringen som følger
konklusion:
Den betingede forventning til den diskrete og kontinuerlige tilfældige variabel med forskellige eksempler i betragtning af nogle af de typer af disse tilfældige variabler, der er diskuteret ved hjælp af den uafhængige tilfældige variabel og fællesfordelingen under forskellige forhold. eksempler, hvis du har brug for yderligere læsning, gå gennem nedenstående bøger eller for mere artikel om sandsynlighed, bedes du følge vores Matematiske sider.
https://en.wikipedia.org/wiki/probability_distribution
Et første kursus i sandsynlighed af Sheldon Ross
Schaums konturer af sandsynlighed og statistik
En introduktion til sandsynlighed og statistik fra ROHATGI og SALEH
Jeg er DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Jeg har afsluttet min ph.d. i matematik og arbejder som adjunkt i matematik. Har 12 års erfaring med undervisning. At have stor viden i ren matematik, netop om algebra. Har den enorme evne til problemdesign og -løsning. I stand til at motivere kandidater til at forbedre deres præstationer.
Jeg elsker at bidrage til Lambdageeks for at gøre matematik enkel, interessant og selvforklarende for begyndere såvel som eksperter.