Betinget forventning: 7 fakta, du bør vide

For den tilfældige variabel, der er afhængig af hinanden, kræver beregning af betingede sandsynligheder, som vi allerede har diskuteret, nu vil vi diskutere nogle flere parametre for sådanne tilfældige variabler eller eksperimenter som betinget forventning og betinget variation for forskellige typer tilfældige variabler.

Betinget forventning

   Definitionen af ​​betinget sandsynlighedsmassefunktion af diskret tilfældig variabel X givet Y er

billede

her pY(y)>0 , så den betingede forventning til den diskrete stokastiske variabel X givet Y, når pY (y)>0 er

1 billede

i ovenstående forventning sandsynlighed er den betingede sandsynlighed.

  På lignende måde, hvis X og Y er kontinuerlige, er den betingede sandsynlighedsdensitetsfunktion for den tilfældige variabel X givet Y

2 billede

hvor f (x, y) er fælles sandsynlighedsdensitetsfunktion og for alle yfY(y)> 0, så den betingede forventning for den tilfældige variabel X givet y vil være

MT2

for alle yfY(y)> 0.

   Som vi ved, at alle egenskaber af sandsynlighed er gældende for betingede sandsynlighed det samme er tilfældet for den betingede forventning, alle egenskaberne ved matematisk forventning er opfyldt af betinget forventning, for eksempel vil betinget forventning om funktion af stokastisk variabel være

3 billede

og summen af ​​tilfældige variabler i betinget forventning vil være

4 billede

Betinget forventning for summen af ​​tilfældige binomiale variabler

    At finde betinget forventning om summen af ​​binomiale stokastiske variable X og Y med parametre n og p som er uafhængige, ved vi at X+Y også vil være binomial stokastisk variabel med parametrene 2n og p, så for stokastisk variabel X givet X+Y=m vil den betingede forventning blive fremkommet ved at beregne sandsynligheden

5 billede

da vi ved det

6 billede

således er den betingede forventning af X givet X + Y = m

7 billede

Eksempel:

Find den betingede forventning

8 billede

hvis leddet sandsynlighedstæthedsfunktion af kontinuerte stokastiske variable X og Y er givet som

9 billede

løsning:

For at beregne den betingede forventning kræver vi betinget sandsynlighedsdensitetsfunktion, så

10 billede

da for den kontinuerte stokastiske variabel betinget forventning er

11 billede

dermed for den givne densitetsfunktion ville den betingede forventning være

12 billede

Forventning ved konditionering || Forventning efter betinget forventning

                Vi kan beregne matematisk forventning ved hjælp af betinget forventning om X givet Y som

13 billede

for de diskrete tilfældige variabler vil dette være

14 billede

som kan opnås som

15 billede

og for den kontinuerlige tilfældige kan vi tilsvarende vise

16 billede

Eksempel:

                En person er fanget i sin bygning under jorden, da indgangen er blokeret på grund af tung belastning, heldigvis er der tre rørledninger, hvorfra han kan komme ud, det første rør tager ham sikkert ud efter 3 timer, den anden efter 5 timer og den tredje rørledning efter 7 timer, hvis en af ​​disse rørledninger er valgt lige sandsynligt af ham, hvad ville det være det forventede tidspunkt, han kommer sikkert ud udenfor.

Opløsning:

Lad X være den tilfældige variabel, der angiver tiden i timer, indtil personen kom sikkert ud, og Y betegner det rør, han valgte oprindeligt, så

17 billede

siden

18 billede

Hvis personen vælger det andet rør, bruger han 5 hus i det, men han kommer udenfor med forventet tid

19 billede

så forventningen vil være

20 billede

Forventning af summen af ​​tilfældigt antal tilfældige variabler ved anvendelse af betinget forventning

                Lad N være det tilfældige antal tilfældige variabler, og summen af ​​tilfældige variabler er     så forventningen  

21 billede

siden

22 billede

as

MT11

således

MT12

Korrelation af bivariatfordeling

Hvis sandsynlighedsdensitetsfunktionen for den bivariate tilfældige variabel X og Y er

23 billede

hvor

24 billede

så er korrelationen mellem tilfældig variabel X og Y for den bivariate fordeling med densitetsfunktion

da korrelation er defineret som

25 billede

da forventningen ved anvendelse af betinget forventning er

26 billede

for den normale fordeling har den betingede fordeling X givet Y middelværdi

27 billede

nu er forventningen om XY givet Y

28 billede

dette giver

29 billede

dermed

30 billede

Variation af geometrisk fordeling

    Lad os i den geometriske fordeling udføre successivt uafhængige forsøg, der resulterer i succes med sandsynlighed p, hvis N repræsenterer tidspunktet for første succes i denne rækkefølge, så vil variansen af ​​N som pr. Definition være

31 billede

Lad den tilfældige variabel Y = 1, hvis det første forsøg resulterer i succes og Y = 0, hvis det første forsøg resulterer i fiasko. For at finde den matematiske forventning her anvender vi den betingede forventning som

32 billede

siden

33 billede

hvis succes er i første forsøg, så er N = 1 og N2= 1 hvis der opstår fiasko i første forsøg, så for at få den første succes vil det samlede antal forsøg have den samme fordeling som 1, dvs. det første forsøg, der resulterer i fiasko med plus det nødvendige antal yderligere forsøg, det vil sige

34 billede

Således forventes det

35 billede

da forventningen om geometrisk fordeling er so

36 billede

dermed

37 billede

,

E

38 billede

så variansen af ​​geometrisk fordeling vil være

39 billede

Forventning til minimum af sekvensen af ​​ensartede tilfældige variabler

   Sekvensen af ​​ensartede tilfældige variabler U1, ELLER2 … .. over intervallet (0, 1) og N er defineret som

40 billede

derefter for forventningen til N, for enhver x ∈ [0, 1] værdien af ​​N

41 billede

vi sætter forventningen om N som

42 billede

for at finde forventningen bruger vi definitionen af ​​betinget forventning på kontinuerlig tilfældig variabel

lagrida latex editor 6

nu konditionering for den første periode af sekvensen  vi

43 billede

her kommer vi

44 billede

det resterende antal ensartede tilfældige variabler er det samme på det punkt, hvor den første ensartede værdi er y, ved start og derefter skulle tilføje ensartede tilfældige variabler, indtil deres sum oversteg x - y.

så ved hjælp af denne forventningsværdi vil værdien af ​​integral være

45 billede

hvis vi differentierer denne ligning

46 billede

,

47 billede

nu integrerer dette giver

48 billede

dermed

49 billede

værdien af ​​k = 1 hvis x = 0, så

m

50 billede

og m (1) = e, det forventede antal ensartede tilfældige variabler over intervallet (0, 1), der skal tilføjes, indtil deres sum overstiger 1, er lig med e

Sandsynlighed ved anvendelse af betinget forventning || sandsynligheder ved hjælp af konditionering

   Vi kan finde sandsynligheden også ved at bruge betinget forventning som forventning, vi fandt med betinget forventning, for at få dette til at overveje en begivenhed og en tilfældig variabel X som

51 billede

fra definitionen af ​​denne tilfældige variabel og forventning klart

52 billede

nu ved betinget forventning i enhver forstand, vi har

53 billede

Eksempel:

beregne sandsynlighed massefunktion af stokastisk variabel X , hvis U er den ensartede stokastiske variabel i intervallet (0,1), og betragte den betingede fordeling af X givet U=p som binomial med parametre n og p.

Opløsning:

For værdien af ​​U er sandsynligheden ved konditionering

54 billede

vi har resultatet

lagrida latex editor 15

så vi får

55 billede

Eksempel:

hvad er sandsynligheden for X <Y, hvis X og Y er de kontinuerlige tilfældige variabler med sandsynlighedsdensitetsfunktioner fX og fY henholdsvis.

Opløsning:

Ved at bruge betinget forventning og betinget sandsynlighed

56 billede

as

57 billede

Eksempel:

Beregn fordelingen af ​​summen af ​​kontinuerlige uafhængige tilfældige variabler X og Y.

Opløsning:

For at finde fordelingen af ​​X + Y skal vi finde sandsynligheden for summen ved at bruge konditioneringen som følger

58 billede

konklusion:

Den betingede forventning til den diskrete og kontinuerlige tilfældige variabel med forskellige eksempler i betragtning af nogle af de typer af disse tilfældige variabler, der er diskuteret ved hjælp af den uafhængige tilfældige variabel og fællesfordelingen under forskellige forhold. eksempler, hvis du har brug for yderligere læsning, gå gennem nedenstående bøger eller for mere artikel om sandsynlighed, bedes du følge vores Matematiske sider.

https://en.wikipedia.org/wiki/probability_distribution

Et første kursus i sandsynlighed af Sheldon Ross

Schaums konturer af sandsynlighed og statistik

En introduktion til sandsynlighed og statistik fra ROHATGI og SALEH