Afbøjning af bjælke | Komplet oversigt og vigtige relationer

Indhold: Bøjning af stråle

  • Definition af afbøjningskurve
  • Definition af afbøjningsvinkel
  • Deflektion Definition
  • Rammebetingelser for strålebøjning
  • Forholdet mellem belastningskræfter, forskydningskraft, bøjningsmoment, hældning og afbøjning
  • Beam Bending ligninger og relationer
  • Strålebøjningstabel og formler til standardbelastningssager
  • Strålebøjning og hældning med eksempler Tilfælde I: Overhængende bjælke
  • Tilfælde II: Bestem den maksimale afbøjning af simpelthen understøttet stråle med punktbelastning i midten
  • Tilfælde III: Bestem den maksimale afbøjning af simpelthen understøttet bjælke med en koncentreret punktbelastning i en afstand 'a' fra støtte A
  • Dobbelt integrationsmetode
  • Procedure for dobbelt integrationsmetode
  • Dobbelt integrationsmetode til at finde stråleafbøjning ved hjælp af eksempel på a udkragningsbjælke med ensartet fordelt belastning
  • Dobbelt integrationsmetode til trekantet belastning

In ingeniørarbejde, afbøjning er den grad, i hvilken et strukturelt element forskydes under en belastning (på grund af dets deformation). Det kan henvise til en vinkel eller en afstand. Afbøjningsafstanden for et element under en belastning kan beregnes ved at integrere den funktion, der matematisk beskriver hældningen af ​​elementets afbøjede form under denne belastning. Der findes standardformler til afbøjning af almindelige strålekonfigurationer og belastningstilfælde på diskrete steder. Ellers anvendes metoder som virtuelt arbejde, direkte integration, Castiglianos metode, Macaulays metode eller den direkte stivhedsmetode.

Bøjningskurve

Når bjælker belastes med laterale eller langsgående belastninger, deformeres den første lige længdeakse til en kurve kendt som bjælkens elastiske kurve eller afbøjningskurve. Afbøjningskurven er den deformerede akse for den valgte stråle.

Bøjningsvinkel

Hældningen kan defineres som vinklen mellem bjælkens længdeakse og tangenten konstrueret til bjælkens deformationskurve på ethvert ønsket sted. Det er rotationsvinklen for bjælkens neutrale akse. Det måles i radianer.

Deflection

Afbøjning er translation eller forskydning af et hvilket som helst punkt på bjælkens akse målt i y-retningen fra den oprindelige lige længdeakse til punktet på bjælkens afbøjningskurve. Det måles i mm. Bøjning repræsenterer afvigelsen af ​​den lige længdeakse på grund af tværgående belastning. I modsætning hertil repræsenterer bøjning af strålen afvigelsen fra den oprindelige lige længdeakse på grund af aksial trykbelastning. Det er normalt repræsenteret af 'y '

Hvis strålen bøjes som en cirkelbue, kaldes den cirkulær bøjning; ellers kaldes det ikke-cirkulær bøjning. Antag, at en prismatisk stråle udsættes for et variabelt bøjningsmoment. I så fald resulterer det i en ikke-cirkulær bøjning, og hvis den udsættes for konstant bøjningsmoment, resulterer det i cirkulær bøjning af strålen.

Rammebetingelser for strålebøjning

  1. y er nul ved en stift- eller rullestøtte.
  2. y er nul ved en indbygget eller cantilever support.
  3. Antag, at bøjningsmomentet og bøjningsstivheden er diskontinuerlige funktioner i x. I så fald kan en enkelt differentialligning ikke skrives for hele strålen; ligningerne for kurven for to tilstødende segmenter skal tilfredsstille de givne to betingelser ved krydset mellem segmenterne:
  • 1. y for venstre sektion skal være lig med y for højre sektion.
  • 2. Hældningen for den venstre sektion skal være lig med hældningen for den højre sektion.

Forholdet mellem belastningskræfter, forskydningskraft, bøjningsmoment, hældning og afbøjning

Overvej en Horizontal Beam AB i ubelastet tilstand. Hvis AB afbøjes under belastningen, vil den nye position være A'B '. Hældningen til enhver tid C vil være

i=\\frac{dy}{dx}

Afbøjningen er normalt minimal, og for en lille krumningsradius er

ds=dx=Rdi \\\\\\frac{di}{dx}=1/R
Men\\;i=\\frac{dy}{dx}

Således

\\frac{d^2 y}{dx^2}=1/R  

Ifølge den enkle bøjningsmomentteori

\\frac{M}{I}=\\frac{E}{R}
\\frac{1}{R}=\\frac{M}{EI}

Således

\\frac{d^2 y}{dx^2}=\\frac{1}{R}=\\frac{M}{EI}

Hvor,

E = Youngs modul af materialet

I = Areal af inerti

M = maksimalt øjeblik

R = strålens krumningsradius

Dette er den grundlæggende differentialligning til strålingens afbøjning.

Beam Bending ligninger og relationer

Bøjning = y
Hældning = \\frac{dy}{dx}
Bøjning\\;moment =EI\\frac{d^2y}{dx^2}
Klippe\\; Force = EI\\frac{d^3y}{dx^3}
Indlæs \\;distribution =EI\\frac{d^4y}{dx^4}

Strålebøjningstabel og formler til standardbelastningssager:

  • Maksimal hældning og afbøjning i en udkragningsbjælke forekommer i den frie ende af bjælken, mens der ikke observeres nogen hældning eller afbøjning på den fastspændte ende af en udkragningsbjælke.
  •  For en simpelt understøttet bjælke med symmetriske belastningsforhold kan den maksimale afbøjning findes i midspan. Den maksimale hældning kan observeres ved bjælkens understøtninger. Maksimal afbøjning opstår, hvor hældningen er nul.

Strålebøjning og hældning med eksempler

Sag I: Overhængende bjælke

Overvej en overhængende stålbjælke, der bærer en koncentreret belastning P = 50 kN ved enden C.

For Den overhængende bjælke (a) bestem hældningen og den maksimale afbøjning, (b) vurder hældningen ved 7 m fra A og den maksimale afbøjning fra de givne data I = 722 cm2 , E = 210 GPa.

33 billede

Løsning: Diagrammet for frit legeme for den givne stråle er

Afbøjning af overhængende bjælke

Værdien af ​​reaktionen ved A og B kan beregnes ved anvendelse af ligevægtsbetingelser

\\sum F_y=0\\;\\sum M_A=0

For lodret ligevægt, Fy = 0

R_A + R_B = P

At tage et øjeblik omkring A, med urets øjebliks positive og mod urets øjeblik tages negativt.

P(L+a)-R_B*L=0 \\\\R_B=P(1+a/L)

Således

R_A+P(1+\\frac{a}{L})=P
R_A= \\frac{-Pa}{L}

Overvej ethvert afsnit AD i en afstand x fra støtte A

Øjeblikket ved punkt D er

M= \\frac{-Pa}{L x}

Ved hjælp af kurvens differentialligning,

EI \\frac{d^2 y}{dx^2}= \\frac{-Pa}{L x}

Integrering to gange får vi

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-1}{2} \\frac{Pa}{L }x^2+C_1……………..[1]
EIy=\\frac{-1}{6} \\frac{Pa}{L }x^3+C_1x+C_2……………..[2]

Vi finder konstanterne for integration ved at bruge de tilgængelige randbetingelser

Ved x = 0, y = 0; fra ligning [2] får vi,

C_2 = 0

Ved x = L, y = 0; fra ligning [2] får vi,

0=\\frac{-1}{6} \\frac{Pa}{L }*L^3+C_1*L+0
C_1= \\frac{PaL}{6}

Således er hældningsligningen opnået ved at erstatte værdierne af C1 og C2 i [1]

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-1}{2} \\frac{Pa}{L }x^2+\\frac{PaL}{6}…………….. [3]

Således opnås ligningen med afbøjning, der er opnået ved at erstatte værdierne af C1 og C2 i [2]

EIy=\\frac{-1}{6} \\frac{Pa}{L }x^3+\\frac{PaL}{6}x……………..[4]

Maksimal afbøjning finder sted, når hældningen er nul. Således kan placeringen af ​​punktet med maksimal afbøjning findes fra [3]:

0= \\frac{-1}{2} \\frac{Pa}{L }x^2+\\frac{PaL}{6}
 \\frac{1}{2} \\frac{Pa}{L }x^2=\\frac{PaL}{6}
x_m=\\frac{L}{\\sqrt 3}
x_m = 0.577 l

Sætter værdien af ​​x i ligning [4]

EIy_{max}=\\frac{-1}{6} \\frac{Pa}{L }x_m^3+\\frac{PaL}{6}x_m
EIy_{max}=\\frac{-1}{6} \\frac{Pa}{L }*0.577 L^3+\\frac{PaL}{6}*0.577 L
y_{max}=0.064\\frac{Pal^2}{EI}

Evaluer hældning ved 7 m fra A fra givne data:

 I = 722 \\;cm^4=72210^{-8}\\; m^4, E = 210\\; GPa = 210*10^9\\; Pa

Brug af ligning [3]

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-1}{2} \\frac{Pa}{L }x^2+\\frac{PaL}{6}
210*10^9*722*10^{-8}* \\frac{dy}{dx}= \\frac{-1}{2}  \\frac{50*10^3*4}{15 }*7^2+\\frac{50*10^3*4*15}{6}
\\frac{dy}{dx}=0.5452 \\;radianer

maksimal afbøjning i strålen kan gives ved

y_{max}=0.064\\frac{Pal^2}{EI}
y_{max}=0.064\\frac{50*10^3*4*15^2}{210*10^9*722*10^{-8}}
y_{max}=1.89 \\;m

Tilfælde II: Bestem den maksimale afbøjning af simpelthen understøttet stråle med punktbelastning i midten.

Overvej en simpel understøttet stålbjælke, der bærer en koncentreret belastning F = 50 kN ved punkt C. For den simpelt understøttede bjælke (a) vurder hældning ved A og maksimal afbøjning fra givne data: I = 722 cm4 , E = 210 GPa, L = 15 m

Figuren nedenfor viser FBD for en simpel understøttet stråle med punktbelastning på den.

36 billede

I henhold til standardforhold og formel

Hældning i enden af ​​bjælken kan gives ved

\\frac{dy}{dx}=\\frac{FL^2}{16EI}
\\frac{dy}{dx}=\\frac{50*10^3*15^2}{16*210*10^9*722*10^{-8}}
\\frac{dy}{dx}=0.463

For en enkelt understøttet bjælke med punktbelastning, der virker i midten, kan maksimal nedbøjning bestemmes af

y_{max}=\\frac{FL^3}{48EI }
y_{max}=\\frac{50*10^3*15^3}{48*210*10^9*722*10^{-8} }
y_{max}=2.31 \\;m

Tilfælde III: Til simpelt understøttet bjælke med en koncentreret punktbelastning i afstand fra støtte A

Overvej en simpel understøttet stålbjælke, der bærer en koncentreret belastning F = 50 kN ved punkt C. For den simpelt understøttede bjælke (a) vurder hældning ved A og B og maksimal afbøjning fra givne data: I = 722 cm4 , E = 210 GPa, L = 15 m, a = 7 m, b = 13 m

Figuren nedenfor viser FBD for en simpel understøttet stråle med punktbelastning på den.

38 billede

I henhold til standardforhold og formel

Hældning ved bjælkens støtte A kan gives ved

\\theta_1=\\frac{Fb(L^2-b^2)}{6LEI}
\\theta_1=\\frac{50*10^3*13*(20^2-13^2)}{6*20*210*10^9*722*10^{-8}}
\\theta_1=0.825 \\;radianer 

Hældningen ved bjælkens støtte B kan gives ved

\\theta_2=\\frac{Fab(2L-b)}{6LEI}
\\theta_2=\\frac{50*10^3*7*13*(2*20-13)}{6*20*210*10^9*722*10^{-8}}
\\theta_2=0.675 \\;radianer

For en enkelt understøttet bjælke med punktbelastning, der virker i midten, kan maksimal nedbøjning bestemmes af

y_{max}=\\frac{50*10^3*13}{48*210*10^9*722*10^{-8} }*(3*15^2-4*13^2)
y_{max}=-8.93*10^{-3}\\; m=-8.93\\;mm

Dobbelt integrationsmetode

Hvis bøjningsstivhed EI er konstant, og øjeblikket er funktionen af ​​afstand x, Integration af EI (d2 y) / (dx2 ) = M giver hældning

EI \\frac{dy}{dx}=\\int M dx+C_1
EIy=\\int \\int Mdxdx+C_1x+C_2

hvor C1 og C2 er konstanter. De bestemmes ved hjælp af randbetingelserne eller andre forhold på bjælken. Ovenstående ligning giver afbøjningen y som en funktion af x; det kaldes ligningen elastisk eller deformationskurve.

Ovenstående analysemetode til afbøjning og hældning af strålen er kendt som dobbeltintegrationsmetoden til beregning af strålebøjninger. Hvis bøjningsmomentet og bøjningsstivheden er kontinuerlige funktioner i x, kan en enkelt differentialligning bemærkes for hele strålen. For en statisk bestemt stråle er der to støttereaktioner; hver pålægger et givet sæt begrænsninger for den elastiske kurves hældning. Disse begrænsninger kaldes randbetingelser og bruges til at bestemme de to konstanter for integration.

Grænsebetingelser for dobbelt integrationsmetode

  1. y er nul ved en stift- eller rullestøtte.
  2. y er nul ved en indbygget eller cantilever support.
  3. Antag, at bøjningsmomentet og bøjningsstivheden er diskontinuerlige funktioner i x. I så fald kan en enkelt differentialligning ikke skrives for hele strålen; ligningerne for kurven for to tilstødende segmenter skal tilfredsstille de givne to betingelser ved krydset mellem segmenterne:
  • 1. y for venstre sektion skal være lig med y for højre sektion.
  • 2. Hældningen for den venstre sektion skal være lig med hældningen for den højre sektion.

Procedure for dobbelt integrationsmetode

  • Tegn den elastiske kurve for bjælken og overvej alle de nødvendige randbetingelser, såsom y er nul ved en stift eller rullestøtte og y er nul ved en indbygget eller cantilever support.
  • Bestem bøjningsmomentet M i en vilkårlig afstand x fra understøtningen ved hjælp af sektionernes metode. Brug passende bøjningsmomentregler, mens du finder Moment M. i et diskontinuerligt øjeblik, ligningerne for kurven for to tilstødende segmenter skal tilfredsstille de givne to betingelser ved krydset mellem segmenterne: 1. y for den venstre sektion skal være lig med y til højre sektion. 2. Hældningen for den venstre sektion skal være lig med hældningen for den højre sektion.
  • Integrer ligningen to gange for at få hældningen og afbøjningen, og glem ikke at finde den konstante integration for hvert afsnit ved hjælp af randbetingelser.

Eksempler på dobbelt integrationsmetode til at finde strålebøjning

Overvej Cantilever-bjælken med længden L vist i figuren nedenfor med ensartet fordelt belastning. I en Cantilever-bjælke er den ene ende fast, mens en anden ende er fri til at bevæge sig. Vi udleder ligningen for hældning og bøjningsmoment for denne stråle ved hjælp af metoden med dobbelt integration.

40 billede

Bøjningsmomentet, der virker i afstanden x fra venstre ende, kan opnås som:

M=-bx* \\frac{x}{2}

Ved hjælp af kurvens differentialligning,

\\frac{d^2y}{dx^2}=M = \\frac{-wx^2}{2}

Integrering, når vi først er kommet,

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-wx^3}{6}+C_1………..[1]

Integrerende ligning [1] vi får,

EIy= \\frac{-wx^4}{24}+C_1 x+C_2……..[2]

Konstanterne af integrationer kan opnås ved anvendelse af randbetingelserne,

Ved x = L, dy / dx = 0; da støtte ved A modstår bevægelser. Således får vi fra ligning [1],

C_1=\\frac{wL^3}{6}

Ved x = L, y = 0, Ingen afbøjning ved understøtningen eller den faste ende A Således, fra ligning [2], får vi,

0= \\frac{-wL^4}{24}+\\frac{wL^3}{6} *L+C_2
C_2= \\frac{-wL^4}{8}

 Ved at erstatte konstantens værdi i [1] og [2] får vi nye ligningssæt som

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-wx^3}{6}+\\frac{wL^3}{6}………..[3]
EIy= \\frac{-wx^4}{24}+\\frac{wL^3}{6} -\\frac{wL^4}{8}……..[4]

evaluere hældning ved x = 12 m og maksimal afbøjning fra givne data: I = 722 cm4 , E = 210 GPa, L = 20 m, w = 20 Nm

Fra ovenstående ligninger: ved x = 12 m,

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-wx^3}{6}+\\frac{wL^3}{6}
210*10^9*722*10^{-8}* \\frac{dy}{dx}= \\frac{-20*12^3}{6}+\\frac{20*20^3}{6}
\\frac{dy}{dx}=0.01378 \\;radianer

Fra ligning [4]

EIy= \\frac{-wx^4}{24}+\\frac{wL^3}{6} -\\frac{wL^4}{8}
210*10^9*722*10^{-8}*y= \\frac{-20*12^4}{24}+\\frac{20*20^3}{6} -\\frac{20*20^4}{8}
y=-0.064 \\;m

Dobbelt integrationsmetode til trekantet belastning

Overvej den simpelt understøttede bjælke med længden L vist i nedenstående figur med trekantet belastning. Vi udleder ligningen for hældning og bøjningsmoment for denne stråle ved hjælp af metoden med dobbelt integration.

41 billede

Da belastningen er symmetrisk, bærer hver støttereaktion halvdelen af ​​den samlede belastning. Reaktionen ved A og B viser sig at være wL / 4.

Moment på ethvert punkt i en afstand x fra RA is

M=\\frac{wL}{4} x- \\frac{wx^2}{L}\\frac{x}{3}=\\frac{w}{12L} (3L^2 x-4x ^3) 
 \\frac{d^2 y}{dx^2}=M=\\frac{w}{12L} (3L^2 x-4x^3) 

Integrering to gange får os ligningerne,

EI \\frac{dy}{dx}=\\frac{w}{12L}(\\frac{3L^2x^2}{2}-x^4)+C_1...........................[1]
EIy=\\frac{w}{12L} (\\frac{L^2x^3}{2}-\\frac{x^5}{5})+C_1 x+C_2……..[2]

Ved x = 0, y = 0; fra ligning [2] får vi,

C_2 = 0

På grund af symmetri af belastning er hældningen ved midspan nul. Således dy / dx = 0 ved x = L / 2

0=\\frac{w}{12L}(\\frac{3L^2*L^2}{2*4}-(L^4/16))+C_1
C_1=\\frac{-5wL^3}{192}

Udskiftning af konstantværdien i [1] og [2] får vi,

EI \\frac{dy}{dx}=\\frac{w}{12L}(\\frac{3L^2x^2}{2}-x^4)+\\frac{-5wL^3}{192}...........................[3]
EIy=\\frac{w}{12L} (\\frac{L^2x^3}{2}-\\frac{x^5}{5})+\\frac{-5wL^3}{192} x……..[4]

Den maksimale afbøjning vil blive observeret i midten af ​​bjælken. dvs. ved L / 2

EIy=\\frac{w}{12L} (\\frac{L^2(L/2)^3}{2}-\\frac{(L/2)^5}{5})+\\frac{-5wL^3}{192}(L/2)
EIy_{max}=\\frac{w}{12L} (\\frac{L^5}{16}-\\frac{L^5}{160})+\\frac{-5wL^4}{384}
EIy_{max}=\\frac{-wL^4}{120}

evaluere hældning ved x = 12 m og maksimal værdi af y ud fra givne data: I = 722 cm4 , E = 210 GPa, L = 20 m, w = 20 Nm

Fra ovenstående ligninger: ved x = 12 m,

EI \\frac{dy}{dx}=\\frac{w}{12L}(\\frac{3L^2x^2}{2}-x^4)+\\frac{-5wL^3}{192}
210*10^9*722*10^{-8}* \\frac{dy}{dx}=\\frac{20}{12*20}(\\frac{3*20^2*12^2}{2}-12^4)+\\frac{-5*20*20^3}{192}
\\frac{dy}{dx}=8.60*10^{-4 } \\;radianer

Fra ligning [4]

EIy_{max}=\\frac{-wL^4}{120}
210*10^9*722*10^{-8}*y=\\frac{-20*20^4}{120}
y=-0.01758\\;m

At vide om materialets styrke (Klik her)og Moment Area metode Klik her.

Efterlad en kommentar