Hermite polynomium: 9 komplette hurtige fakta

  Eremitpolynomiet er almindeligt forekommende i applikationer som en ortogonal funktion. Hermite polynomium er serieløsningen af ​​Hermite differentialligning.

Hermites ligning

    Differentialligningen af ​​anden orden med specifikke koefficienter som

d2y/dx2 – 2x dy/dx + 2xy = 0

er kendt som Hermites ligning, ved at løse denne differentialligning får vi det polynom, som er Hermitpolynom.

Lad os finde løsningen på ligningen

d2y/dx2 – 2x dy/dx + 2ny = 0

ved hjælp af serieløsning af differentialligning

101 1

nu erstatter alle disse værdier i eremitens ligning, vi har

136 billede

Denne ligning opfylder værdien af ​​k = 0, og som vi antog, vil værdien af ​​k ikke være negativ, nu for det laveste gradterme xm-2 tag k=0 i den første ligning, da den anden giver negativ værdi, så koefficienten xm-2 is

a0m (m-1)=0 ⇒ m=0,m=1

som en0 ≠ 0

nu på samme måde sidestille koefficienten af ​​xm-1 fra den anden opsummering

104

og ligning af koefficienterne for xm+k til nul,

ak + 2(m+k+2)(m+k+1)-2ak(m+kn) = 0

vi kan skrive det som

ak + 2 = 2(m+kn)/(m+k+2)(m+k+1) ak

hvis m = 0

ak + 2 = 2(kn)/(k+2)(k+1) ak

hvis m = 1

ak + 2 = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2) ak

for disse to sager nu diskuterer vi sagerne for k

Når $m=0, ak + 2= 2(kn)/ (k+2)(k+1)} ak$

Hvis, $k=0 a2 =-2 n/2 a0=-na0$

$k=1, en3=2(1-n)/6a1 =-2(n-1)/3 ! -en1$

Hvis $k=2, a4 =2(2-n)/12a2 =2 (2-n)/12 (-na0) = 22 n(n-2)/4! -en0$

108

indtil videre m=0 har vi to betingelser, når a1= 0, derefter a3=a5=a7=…. = A2r+1= 0 og når a1 er da ikke nul

140 billede

ved at følge dette sæt værdierne for a0,a1,a2,a3,a4 og en5 vi

141 billede

og for m = 1 a1= 0 ved at sætte k = 0,1,2,3,… .. vi får

ak + 2 = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2)ak

142 billede

så løsningen bliver

143 billede

så den komplette løsning er

144 billede

hvor A og B er de vilkårlige konstanter

Hermitpolynom

   Hermitens ligningsløsning er af formen y (x) = Ay1(x)+Af2(x) hvor y1(x) og y2(x) er serieterminerne som diskuteret ovenfor,

145 billede
146 billede

en af ​​disse serier slutter, hvis n er et ikke -negativt heltal, hvis n er lige y1 ophører ellers y2 hvis n er ulige, og vi kan nemt bekræfte, at for n=0,1,2,3,4…….. er disse polynomier

1,x,1-2x2x-2/3 x31-4x2+4/3x4, x-4/3x3+ 4/15x5

så vi kan sige her, at løsningen af ​​Hermites ligning er konstant multiplum af disse polynomier, og de termer, der indeholder den højeste potens af x er af formen 2nxn betegnet med Hn(x) er kendt som Hermitisk polynom

Genererende funktion af eremitpolynom

Hermitpolynom defineres normalt ved hjælp af relation ved hjælp af genereringsfunktion

150 billede
149 billede

[n/2] er det største heltal mindre end eller lig med n/2, så det følger værdien af Hn(x) as

151 billede
152 billede

dette viser det Hn(x) er et polynom af grad n i x og

Hn(x) = 2nxn + πn-2 (x)

hvor πn-2 (x) er polynomet for grad n-2 i x, og det vil være lige funktion af x for lige værdi af n og ulige funktion af x for ulige værdi af n, så

Hn(-x) = (-1)n Hn(x)

nogle af de begyndende eremitpolynomer er

H0(x) = 1

H1(x) = 2x

H2(x) = 4x2 - 2

H3(x) = 8x3-12

H4(x) = 16x4 - 48x2+ 12

H5(x) = 32x2 - 160x3+ 120x

Genererende funktion af Hermite polynomium af Rodrigue Formula

Hermite Polynomial kan også defineres ved hjælp af Rodrigue -formel ved hjælp af genereringsfunktion

153 billede

siden forholdet mellem genererende funktion

154 billede

  Ved hjælp af Maclaurins sætning har vi

155 billede

or

ved at sætte z = xt og

for t = 0, så z = x giver

dette kan vi vise på en anden måde som

differentiere

med hensyn til t giver

at tage grænse har tendens til nul

nu differentieret med hensyn til x

at tage grænse har tendens til nul

fra disse to udtryk kan vi skrive

på samme måde som vi kan skrive

 differentierer n gange sat t = 0, får vi

ud fra disse værdier kan vi skrive

fra disse kan vi få værdierne

Eksempel på eremitpolynom           

  1. Find det almindelige polynom af

Løsning: brug af eremitpolynomdefinitionen og de relationer, vi har

2. Find det eremitiske polynom af det almindelige polynom

Løsning: Den givne ligning kan vi konvertere til Hermite som

og fra denne ligning ligestiller den samme effektkoefficient

derfor vil eremitpolynomet være

Eremitpolynomets ortogonalitet | Eremitpolynomets ortogonale ejendom

Det vigtige kendetegn for eremitpolynom er dets ortogonalitet, der siger, at

Lad os huske det for at bevise denne ortogonalitet

som er den genererende funktion for eremitpolynomet, og vi ved det

så gange disse to ligninger får vi

multiplicere og integrere inden for uendelige grænser

og siden

so

ved hjælp af denne værdi i ovenstående udtryk, vi har

som giver

lig nu koefficienterne på begge sider

som viser den ortogonale egenskab af eremitpolynom.

  Resultatet af ortogonal egenskab af eremitpolynom kan vises på en anden måde ved at overveje gentagelsesrelationen

Eksempel på ortogonalitet af eremitpolynom

1. Vurder integralet

Løsning: Ved at bruge ejendommen til ortogonalitet af hermitpolynom

da værdierne her er m = 3 og n = 2 altså

2. Vurder integralet

Løsning: Ved hjælp af egenskaben ortogonalitet for Hermite -polynom kan vi skrive

Tilbagevendende forhold mellem eremitpolynom

Værdien af ​​eremitpolynom kan let finde ud af ved tilbagevendende forhold

Hermitisk polynom
Hermite polynomisk tilbagefald relationer

Disse relationer kan let opnås ved hjælp af definition og egenskaber.

Beviser: 1. Vi kender Hermite -ligningen

y"-2xy'+2ny = 0

og forholdet

174 billede

ved at tage differentiering med hensyn til x delvist kan vi skrive det som

175 billede

fra disse to ligninger

176 billede
177 billede

erstat nu n med n-1

178 billede
179 billede

ved at sidestille koefficienten tn

180 billede
181 billede

så det krævede resultat er

182 billede

2. På samme måde differentieres delvist med hensyn til t ligningen

183 billede

vi får

184 billede
185 billede

n = 0 forsvinder, så ved at sætte denne værdi på e

186 billede
187 billede

svarer nu koefficienterne for tn

188 billede

således

189 billede

3. For at bevise dette resultat fjerner vi Hn-1 fra

190 billede

,

191 billede

så vi får

192 billede

dermed kan vi skrive resultatet

193 billede

4. For at bevise dette resultat differentierer vi

194 billede

vi får forholdet

195 billede

erstatter værdien

196 billede

og erstatte n med n+1

197 billede

som giver

173 billede

Eksempler på gentagelsesforhold mellem eremitpolynom

1. Vis det

H2n(0) = (-1)n. 22n (1 / 2)n

Opløsning:

For at vise det resultat, vi har

172 billede

H2n(x) =

tager x = 0 her får vi

171 billede

2. Vis det

H'2n + 1(0) = (-1)n 22n + 1 (3 / 2)2

Opløsning:

Siden fra gentagelsesforholdet

H'n(x) = 2nHn-1(x)

her udskift n med 2n+1 så

H'2n-1(x) = 2(2n+1) H2n(x)

tager x = 0

170 billede

3. Find værdien af

H2n + 1(0)

Løsning

Da vi ved det

169 billede

brug x = 0 her

H2n-1(0) = 0

4. Find værdien af ​​H '2n(0).

Løsning :

vi har gentagelsesforholdet

H'n(x) = 2nHn-1(x)

her udskift n med 2n

H'2n(x) = =2(2n)H2n-1(x)

sæt x = 0

H'2n(0) = (4n)H2n-1(0) = 4n*0=0

5. Vis følgende resultat

168 billede

Løsning :

Brug af gentagelsesrelationen

H'n(x) = 2nHn-1 (x)

so

167 billede

,

d3/dx3 {Hn(x)} = 23n(n-1)(n-2)Hn-3(x)

adskiller dette m gange

166 billede

som giver

165 billede

6. Vis det

Hn(-x) = (-1)n Hn(x)

Løsning :

vi kan skrive

163 billede
164 billede

fra koefficienten tn vi

162 billede

og for -x

161 billede

7. Evaluer integralet og vis

Løsning : Til løsning af denne integrerede brug integrationsdele som

160 billede

Nu differentiering under Integral tegnet differentiere med

respekt for x

159 billede

ved brug af

H'n(x) = 2nHn-1 (x)

,

H'm(x) = 2mHm-1 (x)

vi

157 billede

og siden

𝝳 n,m-1 =n+1, m

så værdien af ​​integral vil være

156 billede

konklusion:

Det specifikke polynomium, der hyppigt forekommer i applikationen, er Hermite polynomium, så den grundlæggende definition, genererende funktion, gentagelsesrelationer og eksempler relateret til Hermite Polynomium blev diskuteret kort her, hvis du har brug for yderligere læsning, gå igennem

https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials

For mere indlæg om matematik, følg venligst vores Matematik side