Eremitpolynomiet er almindeligt forekommende i applikationer som en ortogonal funktion. Hermite polynomium er serieløsningen af Hermite differentialligning.
Hermites ligning
Differentialligningen af anden orden med specifikke koefficienter som
d2y/dx2 – 2x dy/dx + 2xy = 0
er kendt som Hermites ligning, ved at løse denne differentialligning får vi det polynom, som er Hermitpolynom.
Lad os finde løsningen på ligningen
d2y/dx2 – 2x dy/dx + 2ny = 0
ved hjælp af serieløsning af differentialligning
nu erstatter alle disse værdier i eremitens ligning, vi har
Denne ligning opfylder værdien af k = 0, og som vi antog, vil værdien af k ikke være negativ, nu for det laveste gradterme xm-2 tag k=0 i den første ligning, da den anden giver negativ værdi, så koefficienten xm-2 is
a0m (m-1)=0 ⇒ m=0,m=1
som en0 ≠ 0
nu på samme måde sidestille koefficienten af xm-1 fra den anden opsummering
og ligning af koefficienterne for xm+k til nul,
ak + 2(m+k+2)(m+k+1)-2ak(m+kn) = 0
vi kan skrive det som
ak + 2 = 2(m+kn)/(m+k+2)(m+k+1) ak
hvis m = 0
ak + 2 = 2(kn)/(k+2)(k+1) ak
hvis m = 1
ak + 2 = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2) ak
for disse to sager nu diskuterer vi sagerne for k
Når $m=0, ak + 2= 2(kn)/ (k+2)(k+1)} ak$
Hvis, $k=0 a2 =-2 n/2 a0=-na0$
$k=1, en3=2(1-n)/6a1 =-2(n-1)/3 ! -en1$
Hvis $k=2, a4 =2(2-n)/12a2 =2 (2-n)/12 (-na0) = 22 n(n-2)/4! -en0$
indtil videre m=0 har vi to betingelser, når a1= 0, derefter a3=a5=a7=…. = A2r+1= 0 og når a1 er da ikke nul
ved at følge dette sæt værdierne for a0,a1,a2,a3,a4 og en5 vi
og for m = 1 a1= 0 ved at sætte k = 0,1,2,3,… .. vi får
ak + 2 = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2)ak
så løsningen bliver
så den komplette løsning er
hvor A og B er de vilkårlige konstanter
Hermitpolynom
Hermitens ligningsløsning er af formen y (x) = Ay1(x)+Af2(x) hvor y1(x) og y2(x) er serieterminerne som diskuteret ovenfor,
en af disse serier slutter, hvis n er et ikke -negativt heltal, hvis n er lige y1 ophører ellers y2 hvis n er ulige, og vi kan nemt bekræfte, at for n=0,1,2,3,4…….. er disse polynomier
1,x,1-2x2x-2/3 x31-4x2+4/3x4, x-4/3x3+ 4/15x5
så vi kan sige her, at løsningen af Hermites ligning er konstant multiplum af disse polynomier, og de termer, der indeholder den højeste potens af x er af formen 2nxn betegnet med Hn(x) er kendt som Hermitisk polynom
Genererende funktion af eremitpolynom
Hermitpolynom defineres normalt ved hjælp af relation ved hjælp af genereringsfunktion
[n/2] er det største heltal mindre end eller lig med n/2, så det følger værdien af Hn(x) as
dette viser det Hn(x) er et polynom af grad n i x og
Hn(x) = 2nxn + πn-2 (x)
hvor πn-2 (x) er polynomet for grad n-2 i x, og det vil være lige funktion af x for lige værdi af n og ulige funktion af x for ulige værdi af n, så
Hn(-x) = (-1)n Hn(x)
nogle af de begyndende eremitpolynomer er
H0(x) = 1
H1(x) = 2x
H2(x) = 4x2 - 2
H3(x) = 8x3-12
H4(x) = 16x4 - 48x2+ 12
H5(x) = 32x2 - 160x3+ 120x
Genererende funktion af Hermite polynomium af Rodrigue Formula
Hermite Polynomial kan også defineres ved hjælp af Rodrigue -formel ved hjælp af genereringsfunktion
siden forholdet mellem genererende funktion
Ved hjælp af Maclaurins sætning har vi
or
ved at sætte z = xt og
for t = 0, så z = x giver
dette kan vi vise på en anden måde som
differentiere
med hensyn til t giver
at tage grænse har tendens til nul
nu differentieret med hensyn til x
at tage grænse har tendens til nul
fra disse to udtryk kan vi skrive
på samme måde som vi kan skrive
differentierer n gange sat t = 0, får vi
ud fra disse værdier kan vi skrive
fra disse kan vi få værdierne
Eksempel på eremitpolynom
- Find det almindelige polynom af
Løsning: brug af eremitpolynomdefinitionen og de relationer, vi har
2. Find det eremitiske polynom af det almindelige polynom
Løsning: Den givne ligning kan vi konvertere til Hermite som
og fra denne ligning ligestiller den samme effektkoefficient
derfor vil eremitpolynomet være
Eremitpolynomets ortogonalitet | Eremitpolynomets ortogonale ejendom
Det vigtige kendetegn for eremitpolynom er dets ortogonalitet, der siger, at
Lad os huske det for at bevise denne ortogonalitet
som er den genererende funktion for eremitpolynomet, og vi ved det
så gange disse to ligninger får vi
multiplicere og integrere inden for uendelige grænser
og siden
so
ved hjælp af denne værdi i ovenstående udtryk, vi har
som giver
lig nu koefficienterne på begge sider
som viser den ortogonale egenskab af eremitpolynom.
Resultatet af ortogonal egenskab af eremitpolynom kan vises på en anden måde ved at overveje gentagelsesrelationen
Eksempel på ortogonalitet af eremitpolynom
1. Vurder integralet
Løsning: Ved at bruge ejendommen til ortogonalitet af hermitpolynom
da værdierne her er m = 3 og n = 2 altså
2. Vurder integralet
Løsning: Ved hjælp af egenskaben ortogonalitet for Hermite -polynom kan vi skrive
Tilbagevendende forhold mellem eremitpolynom
Værdien af eremitpolynom kan let finde ud af ved tilbagevendende forhold
Disse relationer kan let opnås ved hjælp af definition og egenskaber.
Beviser: 1. Vi kender Hermite -ligningen
y"-2xy'+2ny = 0
og forholdet
ved at tage differentiering med hensyn til x delvist kan vi skrive det som
fra disse to ligninger
erstat nu n med n-1
ved at sidestille koefficienten tn
så det krævede resultat er
2. På samme måde differentieres delvist med hensyn til t ligningen
vi får
n = 0 forsvinder, så ved at sætte denne værdi på e
svarer nu koefficienterne for tn
således
3. For at bevise dette resultat fjerner vi Hn-1 fra
,
så vi får
dermed kan vi skrive resultatet
4. For at bevise dette resultat differentierer vi
vi får forholdet
erstatter værdien
og erstatte n med n+1
som giver
Eksempler på gentagelsesforhold mellem eremitpolynom
1. Vis det
H2n(0) = (-1)n. 22n (1 / 2)n
Opløsning:
For at vise det resultat, vi har
H2n(x) =
tager x = 0 her får vi
2. Vis det
H'2n + 1(0) = (-1)n 22n + 1 (3 / 2)2
Opløsning:
Siden fra gentagelsesforholdet
H'n(x) = 2nHn-1(x)
her udskift n med 2n+1 så
H'2n-1(x) = 2(2n+1) H2n(x)
tager x = 0
3. Find værdien af
H2n + 1(0)
Løsning
Da vi ved det
brug x = 0 her
H2n-1(0) = 0
4. Find værdien af H '2n(0).
Løsning :
vi har gentagelsesforholdet
H'n(x) = 2nHn-1(x)
her udskift n med 2n
H'2n(x) = =2(2n)H2n-1(x)
sæt x = 0
H'2n(0) = (4n)H2n-1(0) = 4n*0=0
5. Vis følgende resultat
Løsning :
Brug af gentagelsesrelationen
H'n(x) = 2nHn-1 (x)
so
,
d3/dx3 {Hn(x)} = 23n(n-1)(n-2)Hn-3(x)
adskiller dette m gange
som giver
6. Vis det
Hn(-x) = (-1)n Hn(x)
Løsning :
vi kan skrive
fra koefficienten tn vi
og for -x
7. Evaluer integralet og vis
Løsning : Til løsning af denne integrerede brug integrationsdele som
Nu differentiering under Integral tegnet differentiere med
respekt for x
ved brug af
H'n(x) = 2nHn-1 (x)
,
H'm(x) = 2mHm-1 (x)
vi
og siden
𝝳 n,m-1 =n+1, m
så værdien af integral vil være
konklusion:
Det specifikke polynomium, der hyppigt forekommer i applikationen, er Hermite polynomium, så den grundlæggende definition, genererende funktion, gentagelsesrelationer og eksempler relateret til Hermite Polynomium blev diskuteret kort her, hvis du har brug for yderligere læsning, gå igennem
https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials
For mere indlæg om matematik, følg venligst vores Matematik side
Jeg er DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Jeg har afsluttet min ph.d. i matematik og arbejder som adjunkt i matematik. Har 12 års erfaring med undervisning. At have stor viden i ren matematik, netop om algebra. Har den enorme evne til problemdesign og -løsning. I stand til at motivere kandidater til at forbedre deres præstationer.
Jeg elsker at bidrage til Lambdageeks for at gøre matematik enkel, interessant og selvforklarende for begyndere såvel som eksperter.