Omvendt gammafordeling: 21 vigtige fakta

Invers gammadistribution og momentgenererende funktion af gammadistribution

      I forlængelse af gammadistribution vil vi se begrebet invers gammadistribution og momentgenererende funktion, måling af centrale tendenser, mode og median for gammadistribution ved at følge nogle af de grundlæggende egenskaber ved gammadistribution.

gammadistributionsegenskaber

Nogle af de vigtige egenskaber ved gammafordeling er optaget som følger

Sandsynlighedsdensitetsfunktionen for gammafordelingen er

gif

or

gif

hvor gammafunktionen er

gif

2.Den kumulative fordelingsfunktion for gammadistribution er

gif

hvor f (x) er sandsynlighedsdensitetsfunktionen som angivet ovenfor, især er cdf

gif

,

gif

henholdsvis eller

E [X] = α * β

,

gif
  • Momentgenereringsfunktionen M (t) for gammafordelingen er
gif

or

gif
  • Kurven for pdf og cdf er
Omvendt gammafordeling
  • Den inverse gammafordeling kan defineres ved at tage gensidig af sandsynlighedsdensitetsfunktionen af ​​gammafordeling som
gif
  • Summen af ​​uafhængig gammafordeling er igen gammafordelingen med summen af ​​parametrene.

invers gammafordeling | normal invers gammafordeling

                Hvis i gammafordelingen i sandsynlighedsdensitetsfunktionen

or

gif

vi tager den variable gensidige eller inverse, så sandsynlighedsdensitetsfunktionen vil være

Den tilfældige variabel med denne sandsynlighedsdensitetsfunktion er således kendt for at være den inverse gamma-tilfældige variabel eller invers gamma-distribution eller inverteret gamma-distribution.

y%29%5Cleft%20%7C%20%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%20%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%20y%7Dy%5E%7B 1%7D%20%5Cright%20%7C
%5Cbeta%20y%29%7Dy%5E%7B 2%7D
y%7D

Ovenstående sandsynlighedsdensitetsfunktion i en hvilken som helst parameter kan vi antage enten i form af lambda eller theta, sandsynlighedsdensitetsfunktionen, som er den gensidige af gammadistribution, er sandsynlighedsdensitetsfunktionen for invers gamma-distribution.

Kumulativ fordelingsfunktion eller cdf af invers gammafordeling

                Den kumulative fordelingsfunktion for den inverse gammafordeling er fordelingsfunktionen

gif

hvor f (x) er sandsynlighedsdensitetsfunktionen for den inverse gammafordeling som

Middel og varians af den inverse gammafordeling

  Gennemsnittet og variansen af ​​den inverse gammafordeling ved at følge den sædvanlige definition af forventning og varians vil være

gif

,

gif

Gennemsnit og varians af det inverse gammafordelingssikkert

        For at få middelværdien og variansen af ​​den inverse gammafordeling ved hjælp af sandsynlighedsdensitetsfunktionen

og definitionen af ​​forventninger, finder vi først forventningen til enhver kraft på x som

gif
gif.latex?%3D%5Cfrac%7B%5Cbeta%20%5E%7Bn%7D%5Ctau%20%28%5Calpha n%29%7D%7B%28%5Calpha%20 1%29..
gif.latex?%3D%5Cfrac%7B%5Cbeta%20%5E%7Bn%7D%7D%7B%28%5Calpha%20 1%29..

i ovenstående integral brugte vi densitetsfunktionen som

nu for værdien af ​​α større end en og n som en

gif

ligeledes er værdien for n = 2 for alfa større end 2

gif

Brug af disse forventninger giver os værdien af ​​varians som

gif

Invers gamma-fordelingsdiagram | Invers gammadistributionsgraf

                Den inverse gammadistribution er den gensidige af gammadistributionen, så mens det observeres gammadistributionen, er det godt at observere arten af ​​kurverne for invers gammadistribution med sandsynlighedstæthed som

og den kumulative fordelingsfunktion ved at følge

gif
Omvendt gammafordeling
Invers gammadistributionsgraf

Beskrivelse: grafer for sandsynlighedstæthedsfunktionen og kumulativ fordelingsfunktion ved at fastsætte værdien af ​​a som 1 og variere værdien af ​​β.

Beskrivelse: grafer til sandsynlighedsdensitetsfunktionen og kumulativ fordelingsfunktion ved at fastsætte værdien af ​​α som 2 og variere værdien af ​​β

Beskrivelse: grafer for sandsynlighedsdensitetsfunktionen og den kumulative fordelingsfunktion ved at fastsætte værdien af ​​α som 3 og variere værdien af ​​β.

Beskrivelse: grafer for sandsynlighedsdensitetsfunktionen og den kumulative fordelingsfunktion ved at fastsætte værdien af ​​β som 1 og variere værdien af ​​α.

Beskrivelse: grafer til sandsynlighedsdensitetsfunktionen og kumulativ fordelingsfunktion ved at fastsætte værdien af ​​β som 2 og variere værdien af ​​α

Beskrivelse: grafer for sandsynlighedsdensitetsfunktionen og den kumulative fordelingsfunktion ved at fastsætte værdien af ​​β som 3 og variere værdien af ​​α.

momentgenererende funktion af gammadistribution

Før vi forstår begrebet momentgenererende funktion til gammadistribution, lad os huske noget koncept for momentgenererende funktion

Moments

    Øjeblikket af tilfældig variabel defineres ved hjælp af forventning som

gif

dette er kendt som det femte øjeblik af den tilfældige variabel X, det er øjeblikket om oprindelse og almindeligvis kendt som rå øjeblik.

     Hvis vi tager det femte øjeblik af den tilfældige variabel omkring gennemsnittet μ som

gif

dette øjeblik om gennemsnittet er kendt som det centrale øjeblik, og forventningen vil være som tilfældet med den tilfældige variabel

gif
gif

i det centrale øjeblik, hvis vi sætter værdier af r, får vi nogle indledende øjeblikke som

em%3E%7B1%7D%3D0%20%2C%20%7B%5Cmu%7D %7B2%7D%3D%5Csigma%20%5E%7B2%7D

Hvis vi tager den binomiale udvidelse i de centrale øjeblikke, kan vi let få forholdet mellem de centrale og rå øjeblikke som

em%3E%7Br j%7D%7B%5Cmu%7D%5E%7Bj%7D%20+%20..

nogle af de indledende forhold er som følger

Moment genererende funktion

   De øjeblikke, vi kan generere ved hjælp af en funktion, er, at funktionen kaldes momentgenererende funktion og defineres som

gif

denne funktion genererer øjeblikke ved hjælp af ekspansion af eksponentiel funktion i en af ​​formene

gif

ved hjælp af Taylors form som

em%3E%7Br%7D%5Cfrac%7Bt%5E%7Br%7D%7D%7Br%21%7D+.

differentiering af denne udvidede funktion med hensyn til t giver de forskellige øjeblikke som

em%3E%7BX%7D%28t%29%5Clvert %7Bt%3D0%20%7D

på en anden måde, hvis vi tager derivatet direkte som

gif

siden for begge diskrete

gif

og kontinuerligt har vi

gif

så for t = 0 får vi

gif

ligeledes

gif

as

gif

og generelt

gif

der er to vigtige relationer for øjeblikket, der genererer funktioner

b%29%20%5C%20M %7B%28X+Y%29%7D%28t%29%3DM %7BX%7D%28t%29%20M %7BY%7D%28t%29

momentgenererende funktion af en gammafordeling | mgf af gammadistribution momentgenererende funktion til gammadistribution

Nu til gamma fordeling den momentgenererende funktion M(t) for pdf'en

is

gif

og til pdf

øjeblikket genererer funktion er

gif

gammafordelingsmoment, der genererer funktionssikker | mgf gamma-distribution bevis

    Tag først form af sandsynlighedstæthedsfunktion som

og ved hjælp af definitionen af ​​momentgenererende funktion M (t), vi har

gif
gif

vi kan finde middelværdien og variansen af ​​gammafordelingen ved hjælp af momentgenererende funktion som differentieret med hensyn til t to gange denne funktion, vi får

gif

hvis vi sætter t = 0, så vil den første værdi være

gif

,

gif

Sæt nu værdien af ​​disse forventninger i

gif

skiftevis til pdf-formularen

gif

øjeblikket genererer funktion vil være

%5Cbeta%20%29%7D%20x%5E%7B%5Calpha%20 1%7D%20dx%20%5C%20%3D%20%5Cleft%20%28%20%5Cfrac%7B1%7D%7B1 %5Cbeta%20t%7D%20%5Cright%20%29%5E%7B%5Calpha%20%7D%5Cint %7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7By%5E%7B%5Calpha%20 1%7D%20e%5E%7B y%7D%7D%7B%5Ctau%20%28%5Calpha%20%29%7D%20dy%20%5C%20%5C%20%2C%20%5C%20%5C%20t%26lt%3B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cbeta%20%7D%20%5C%20%3D%20%281 %5Cbeta%20t%29%5E%7B %5Calpha%20%7D%20%5C%20%5C%20t%26lt%3B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cbeta%20%7D

og at differentiere og sætte t = 0 giver gennemsnit og varians som følger

gif

2. øjeblik af gammadistribution

   Det andet øjeblik af gammadistribution ved at differentiere momentgenererende funktion to gange og sætte værdien af ​​t = 0 i det andet afledte af den funktion, vi får

gif

tredje øjeblik af gammadistribution

                Det tredje øjeblik af gammadistribution kan vi finde ved at differentiere momentgenereringsfunktionen tre gange og sætte værdien af ​​t = 0 i tredje derivat af mgf, vi får

gif

eller direkte ved at integrere som

gif

 sigma til gammadistribution

   sigma eller standardafvigelse af gammafordeling kan vi finde ved at tage kvadratroden af ​​variansen af ​​gammafordeling af typen

gif

or

gif

for enhver defineret værdi af alfa, beta og lambda.

karakteristisk funktion af gammafordeling gammafordelingskarakteristiske funktion

      Hvis variablen t i momentgenereringsfunktionen rent er et imaginært tal som t = iω, er funktionen kendt som den karakteristiske funktion af gammafordeling betegnet og udtrykt som

gif

som for enhver tilfældig variabel vil den karakteristiske funktion være

gif

Således for gammadistribution er den karakteristiske funktion ved at følge pdf af gammadistribution

gif

efter

%5Cbeta%20%29%5E%7B %5Calpha%20%7D%5Cint %7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dx%5E%7B%5Calpha%20 1%7De%5E%7B x%7D%20dx%3D%5Ctau%20%28%5Calpha%20%29%5Cbeta%20%5E%7B%5Calpha%20%7D%281 i%5Cbeta%20t%29%5E%7B %5Calpha%20%7D

Der er en anden form for denne egenskabsfunktion også hvis

2 %7D

derefter

2 %7D

sum af gammafordelinger summen af ​​eksponentiel fordeling gamma

  For at kende resultatet af summen af ​​gammafordelingen skal vi først og fremmest forstå summen af ​​uafhængig stokastisk variabel for kontinuert tilfældig variabel, lad os til dette have sandsynlighedstæthedsfunktioner for kontinuert tilfældig variabels X og Y så vil den kumulative fordelingsfunktion for summen af ​​stokastiske variable være

gif

differentiere denne sammenblanding af integral for sandsynlighedsdensitetsfunktionerne for X og Y vil give sandsynlighedsdensitetsfunktionen for summen af ​​tilfældige variabler som

em%3E%7B %5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7DF %7BX%7D%28a y%29f %7BY%7D%28y%29%20dy%20%5C%20%3D%20%5Cint %7B %5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%20%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%20a%7DF %7BX%7D%28a y%29f %7BY%7D%28y%29%20dy%20%5C%20%3D%20%5Cint %7B %5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7Df %7BX%7D%28a y%29f %7BY%7D%28y%29%20dy

Lad os nu bevise, om X og Y er gamma-tilfældige variabler med respektive densitetsfunktioner, så vil summen også være gammadistribution med summen af ​​de samme parametre

overvejer formularens sandsynlighedstæthedsfunktion

for den tilfældige variabel X tage alfa som s og for tilfældig variabel Y tage alfa som t, så ved hjælp af sandsynlighedstætheden for summen af ​​tilfældige variabler, vi har

em%3E%7B0%7D%5E%7Ba%7D%5Clambda%20e%5E%7B %5Clambda%20%28a y%29%7D%20%28%5Clambda%20%28a y%29%29%5E%7Bs 1%7D%5Clambda%20e%5E%7B %5Clambda%20y%7D%20%28%5Clambda%20y%29%5E%7Bt 1%7D%20dy

her er C uafhængig af a, nu vil værdien være

gif

som repræsenterer sandsynlighedsdensitetsfunktionen af ​​summen af ​​X og Y, og som er af gammadistributionen, og derfor repræsenterer summen af ​​gammadistributionen også gammafordelingen ved respektive sum af parametre.

tilstand af gammadistribution

    For at finde gamma-fordelingsmetoden, lad os betragte sandsynlighedsfunktionen som

differentier nu denne pdf med hensyn til x, vi får differentieringen som

gif

dette vil være nul for x = 0 eller x = (α -1) / λ

så disse er kun kritiske punkter hvor vores første afledede vil være nul, hvis alfa er større end eller lig med nul, så vil x=0 ikke være tilstand, fordi dette gør pdf nul, så tilstanden vil være (α -1)/λ

og for alfa strengt mindre end en falder derivatet fra uendeligt til nul, da x stiger fra nul til uendeligt, så dette er ikke muligt, og derfor er gamma-fordelingsmetoden

gif

median for gammadistribution

Medianen af ​​gammadistribution kan findes ved hjælp af invers gammadistribution som

gif

or

gif

forudsat

gif

som giver

gif.latex?median%28n%29%3Dn+%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D+%5Cfrac%7B8%7D%7B405n%7D%20 %5Cfrac%7B64%7D%7B5103n%5E%7B2%7D%7D+..

gammafordelingsform

     Gammadistribution tager forskellig form afhængigt af formparameteren, når formparameteren er en gammadistribution er lig med den eksponentielle fordeling, men når vi varierer formparameteren, reduceres skævheden af ​​gammadistributionskurven, når stigningen i formparameteren med andre ord formen på kurven for gammadistribution ændres efter standardafvigelsen.

skævhed af gammadistribution

    skævhed af enhver fordeling kan observeres ved at observere sandsynlighedsdensitetsfunktionen for denne fordeling og skævhedskoefficient

em%3E%7B3%7D%7D%7B%5Csigma%20%5E%7B3%7D%7D

for den gammafordeling, vi har

gif.latex?E%28X%5E%7Bk%7D%29%3D%5Cfrac%7B%28%5Calpha%20+k 1%29%28%5Calpha%20+k 2%29..

so

gif

dette viser, at skævheden kun afhænger af alfa, hvis alfa stiger til uendelig kurve vil være mere symmetrisk og skarp, og når alfa går til nul, er gammadistributionstæthedskurven positivt skæv, hvilket kan observeres i densitetsgraferne.

generaliseret gammafordeling parametre for form og skala i gammadistribution | treparameters gammafordeling | multivariat gammafordeling

gif

hvor γ, μ og β er henholdsvis form-, placerings- og skalaparametrene, ved at tildele specifikke værdier til disse parametre kan vi få de to parametre gammafordeling specifikt, hvis vi sætter μ=0, β=1 så får vi standard gammafordeling som

gif

ved hjælp af denne 3-parameter gamma-distribution sandsynlighedsdensitetsfunktion kan vi finde forventningen og variansen ved at følge henholdsvis deres definition.

konklusion:

Begrebet gensidig gamma-distribution, altså invers gammafordeling i sammenligning med gammadistribution og måling af centrale tendenser i gammadistribution ved hjælp af momentgenererende funktion var fokus for denne artikel, hvis du har brug for yderligere læsning, skal du gennemgå foreslåede bøger og links. For mere indlæg om matematik, besøg vores matematik side.

https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution

Et første kursus i sandsynlighed af Sheldon Ross

Schaums konturer af sandsynlighed og statistik

En introduktion til sandsynlighed og statistik fra ROHATGI og SALEH