Invers gammadistribution og momentgenererende funktion af gammadistribution
I forlængelse af gammadistribution vil vi se begrebet invers gammadistribution og momentgenererende funktion, måling af centrale tendenser, mode og median for gammadistribution ved at følge nogle af de grundlæggende egenskaber ved gammadistribution.
gammadistributionsegenskaber
Nogle af de vigtige egenskaber ved gammafordeling er optaget som følger
Sandsynlighedsdensitetsfunktionen for gammafordelingen er
or
hvor gammafunktionen er
2.Den kumulative fordelingsfunktion for gammadistribution er
hvor f (x) er sandsynlighedsdensitetsfunktionen som angivet ovenfor, især er cdf
,
henholdsvis eller
E [X] = α * β
,
- Momentgenereringsfunktionen M (t) for gammafordelingen er
or
- Kurven for pdf og cdf er
- Den inverse gammafordeling kan defineres ved at tage gensidig af sandsynlighedsdensitetsfunktionen af gammafordeling som
- Summen af uafhængig gammafordeling er igen gammafordelingen med summen af parametrene.
invers gammafordeling | normal invers gammafordeling
Hvis i gammafordelingen i sandsynlighedsdensitetsfunktionen
or
vi tager den variable gensidige eller inverse, så sandsynlighedsdensitetsfunktionen vil være
Den tilfældige variabel med denne sandsynlighedsdensitetsfunktion er således kendt for at være den inverse gamma-tilfældige variabel eller invers gamma-distribution eller inverteret gamma-distribution.
Ovenstående sandsynlighedsdensitetsfunktion i en hvilken som helst parameter kan vi antage enten i form af lambda eller theta, sandsynlighedsdensitetsfunktionen, som er den gensidige af gammadistribution, er sandsynlighedsdensitetsfunktionen for invers gamma-distribution.
Kumulativ fordelingsfunktion eller cdf af invers gammafordeling
Den kumulative fordelingsfunktion for den inverse gammafordeling er fordelingsfunktionen
hvor f (x) er sandsynlighedsdensitetsfunktionen for den inverse gammafordeling som
Middel og varians af den inverse gammafordeling
Gennemsnittet og variansen af den inverse gammafordeling ved at følge den sædvanlige definition af forventning og varians vil være
,
Gennemsnit og varians af det inverse gammafordelingssikkert
For at få middelværdien og variansen af den inverse gammafordeling ved hjælp af sandsynlighedsdensitetsfunktionen
og definitionen af forventninger, finder vi først forventningen til enhver kraft på x som
i ovenstående integral brugte vi densitetsfunktionen som
nu for værdien af α større end en og n som en
ligeledes er værdien for n = 2 for alfa større end 2
Brug af disse forventninger giver os værdien af varians som
Invers gamma-fordelingsdiagram | Invers gammadistributionsgraf
Den inverse gammadistribution er den gensidige af gammadistributionen, så mens det observeres gammadistributionen, er det godt at observere arten af kurverne for invers gammadistribution med sandsynlighedstæthed som
og den kumulative fordelingsfunktion ved at følge
Beskrivelse: grafer for sandsynlighedstæthedsfunktionen og kumulativ fordelingsfunktion ved at fastsætte værdien af a som 1 og variere værdien af β.
Beskrivelse: grafer til sandsynlighedsdensitetsfunktionen og kumulativ fordelingsfunktion ved at fastsætte værdien af α som 2 og variere værdien af β
Beskrivelse: grafer for sandsynlighedsdensitetsfunktionen og den kumulative fordelingsfunktion ved at fastsætte værdien af α som 3 og variere værdien af β.
Beskrivelse: grafer for sandsynlighedsdensitetsfunktionen og den kumulative fordelingsfunktion ved at fastsætte værdien af β som 1 og variere værdien af α.
Beskrivelse: grafer til sandsynlighedsdensitetsfunktionen og kumulativ fordelingsfunktion ved at fastsætte værdien af β som 2 og variere værdien af α
Beskrivelse: grafer for sandsynlighedsdensitetsfunktionen og den kumulative fordelingsfunktion ved at fastsætte værdien af β som 3 og variere værdien af α.
momentgenererende funktion af gammadistribution
Før vi forstår begrebet momentgenererende funktion til gammadistribution, lad os huske noget koncept for momentgenererende funktion
Moments
Øjeblikket af tilfældig variabel defineres ved hjælp af forventning som
dette er kendt som det femte øjeblik af den tilfældige variabel X, det er øjeblikket om oprindelse og almindeligvis kendt som rå øjeblik.
Hvis vi tager det femte øjeblik af den tilfældige variabel omkring gennemsnittet μ som
dette øjeblik om gennemsnittet er kendt som det centrale øjeblik, og forventningen vil være som tilfældet med den tilfældige variabel
i det centrale øjeblik, hvis vi sætter værdier af r, får vi nogle indledende øjeblikke som
Hvis vi tager den binomiale udvidelse i de centrale øjeblikke, kan vi let få forholdet mellem de centrale og rå øjeblikke som
nogle af de indledende forhold er som følger
Moment genererende funktion
De øjeblikke, vi kan generere ved hjælp af en funktion, er, at funktionen kaldes momentgenererende funktion og defineres som
denne funktion genererer øjeblikke ved hjælp af ekspansion af eksponentiel funktion i en af formene
ved hjælp af Taylors form som
differentiering af denne udvidede funktion med hensyn til t giver de forskellige øjeblikke som
på en anden måde, hvis vi tager derivatet direkte som
siden for begge diskrete
og kontinuerligt har vi
så for t = 0 får vi
ligeledes
as
og generelt
der er to vigtige relationer for øjeblikket, der genererer funktioner
momentgenererende funktion af en gammafordeling | mgf af gammadistribution momentgenererende funktion til gammadistribution
Nu til gamma fordeling den momentgenererende funktion M(t) for pdf'en
is
og til pdf
øjeblikket genererer funktion er
gammafordelingsmoment, der genererer funktionssikker | mgf gamma-distribution bevis
Tag først form af sandsynlighedstæthedsfunktion som
og ved hjælp af definitionen af momentgenererende funktion M (t), vi har
vi kan finde middelværdien og variansen af gammafordelingen ved hjælp af momentgenererende funktion som differentieret med hensyn til t to gange denne funktion, vi får
hvis vi sætter t = 0, så vil den første værdi være
,
Sæt nu værdien af disse forventninger i
skiftevis til pdf-formularen
øjeblikket genererer funktion vil være
og at differentiere og sætte t = 0 giver gennemsnit og varians som følger
2. øjeblik af gammadistribution
Det andet øjeblik af gammadistribution ved at differentiere momentgenererende funktion to gange og sætte værdien af t = 0 i det andet afledte af den funktion, vi får
tredje øjeblik af gammadistribution
Det tredje øjeblik af gammadistribution kan vi finde ved at differentiere momentgenereringsfunktionen tre gange og sætte værdien af t = 0 i tredje derivat af mgf, vi får
eller direkte ved at integrere som
sigma til gammadistribution
sigma eller standardafvigelse af gammafordeling kan vi finde ved at tage kvadratroden af variansen af gammafordeling af typen
or
for enhver defineret værdi af alfa, beta og lambda.
karakteristisk funktion af gammafordeling gammafordelingskarakteristiske funktion
Hvis variablen t i momentgenereringsfunktionen rent er et imaginært tal som t = iω, er funktionen kendt som den karakteristiske funktion af gammafordeling betegnet og udtrykt som
som for enhver tilfældig variabel vil den karakteristiske funktion være
Således for gammadistribution er den karakteristiske funktion ved at følge pdf af gammadistribution
efter
Der er en anden form for denne egenskabsfunktion også hvis
derefter
sum af gammafordelinger summen af eksponentiel fordeling gamma
For at kende resultatet af summen af gammafordelingen skal vi først og fremmest forstå summen af uafhængig stokastisk variabel for kontinuert tilfældig variabel, lad os til dette have sandsynlighedstæthedsfunktioner for kontinuert tilfældig variabels X og Y så vil den kumulative fordelingsfunktion for summen af stokastiske variable være
differentiere denne sammenblanding af integral for sandsynlighedsdensitetsfunktionerne for X og Y vil give sandsynlighedsdensitetsfunktionen for summen af tilfældige variabler som
Lad os nu bevise, om X og Y er gamma-tilfældige variabler med respektive densitetsfunktioner, så vil summen også være gammadistribution med summen af de samme parametre
overvejer formularens sandsynlighedstæthedsfunktion
for den tilfældige variabel X tage alfa som s og for tilfældig variabel Y tage alfa som t, så ved hjælp af sandsynlighedstætheden for summen af tilfældige variabler, vi har
her er C uafhængig af a, nu vil værdien være
som repræsenterer sandsynlighedsdensitetsfunktionen af summen af X og Y, og som er af gammadistributionen, og derfor repræsenterer summen af gammadistributionen også gammafordelingen ved respektive sum af parametre.
tilstand af gammadistribution
For at finde gamma-fordelingsmetoden, lad os betragte sandsynlighedsfunktionen som
differentier nu denne pdf med hensyn til x, vi får differentieringen som
dette vil være nul for x = 0 eller x = (α -1) / λ
så disse er kun kritiske punkter hvor vores første afledede vil være nul, hvis alfa er større end eller lig med nul, så vil x=0 ikke være tilstand, fordi dette gør pdf nul, så tilstanden vil være (α -1)/λ
og for alfa strengt mindre end en falder derivatet fra uendeligt til nul, da x stiger fra nul til uendeligt, så dette er ikke muligt, og derfor er gamma-fordelingsmetoden
median for gammadistribution
Medianen af gammadistribution kan findes ved hjælp af invers gammadistribution som
or
forudsat
som giver
gammafordelingsform
Gammadistribution tager forskellig form afhængigt af formparameteren, når formparameteren er en gammadistribution er lig med den eksponentielle fordeling, men når vi varierer formparameteren, reduceres skævheden af gammadistributionskurven, når stigningen i formparameteren med andre ord formen på kurven for gammadistribution ændres efter standardafvigelsen.
skævhed af gammadistribution
skævhed af enhver fordeling kan observeres ved at observere sandsynlighedsdensitetsfunktionen for denne fordeling og skævhedskoefficient
for den gammafordeling, vi har
so
dette viser, at skævheden kun afhænger af alfa, hvis alfa stiger til uendelig kurve vil være mere symmetrisk og skarp, og når alfa går til nul, er gammadistributionstæthedskurven positivt skæv, hvilket kan observeres i densitetsgraferne.
generaliseret gammafordeling parametre for form og skala i gammadistribution | treparameters gammafordeling | multivariat gammafordeling
hvor γ, μ og β er henholdsvis form-, placerings- og skalaparametrene, ved at tildele specifikke værdier til disse parametre kan vi få de to parametre gammafordeling specifikt, hvis vi sætter μ=0, β=1 så får vi standard gammafordeling som
ved hjælp af denne 3-parameter gamma-distribution sandsynlighedsdensitetsfunktion kan vi finde forventningen og variansen ved at følge henholdsvis deres definition.
konklusion:
Begrebet gensidig gamma-distribution, altså invers gammafordeling i sammenligning med gammadistribution og måling af centrale tendenser i gammadistribution ved hjælp af momentgenererende funktion var fokus for denne artikel, hvis du har brug for yderligere læsning, skal du gennemgå foreslåede bøger og links. For mere indlæg om matematik, besøg vores matematik side.
https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
Et første kursus i sandsynlighed af Sheldon Ross
Schaums konturer af sandsynlighed og statistik
En introduktion til sandsynlighed og statistik fra ROHATGI og SALEH
Jeg er DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Jeg har afsluttet min ph.d. i matematik og arbejder som adjunkt i matematik. Har 12 års erfaring med undervisning. At have stor viden i ren matematik, netop om algebra. Har den enorme evne til problemdesign og -løsning. I stand til at motivere kandidater til at forbedre deres præstationer.
Jeg elsker at bidrage til Lambdageeks for at gøre matematik enkel, interessant og selvforklarende for begyndere såvel som eksperter.